Exercício 4.
que acontece com a média,com a variância e com o desvio padrão de um conjunto de dados quando:
Subtrai-se a média geral de cada observação.
Subtrai-se a média geral de cada observação.
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece com a média, com a variância e com o desvio padrão de um conjunto de dados quando subtrai‑se a média geral de cada observação.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado): temos um conjunto de observações
. Seja
a média desse conjunto. Vamos aplicar a transformação
para cada observação
. Precisamos analisar o efeito dessa transformação sobre: (1) a média dos
; (2) a variância (considerando as duas definições comuns: variância populacional e variância amostral); (3) o desvio padrão.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado): temos um conjunto de
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (vou explicar cada símbolo):
- Média original:
. Aqui é o valor médio dos . - Variância populacional (definição com divisão por
): . Nesta fórmula, é a média populacional verdadeira; se estivermos trabalhando só com os dados e usar a média amostral, análogos abaixo. Para nossos fins práticos com a amostra usamos a soma dos quadrados das diferenças em relação à média. - Variância amostral (definição habitual em estatística inferencial):
. Aqui usa (média amostral) e divide por . - Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. Variância populacional
tem desvio padrão . Variância amostral tem desvio padrão .
Passo 3
Definimos os dados transformados:
para
. Vou calcular a média, a variância e o desvio padrão desses
.
Passo 4
Cálculo da média dos
:
Usamos a fórmula da média para os :
Usamos a fórmula da média para os
Separe a soma:
Como
é constante em relação a
,
. Portanto
Mas por definição
. Logo
Conclusão: a média dos
é
.
Passo 5
Cálculo da variância populacional dos
(fórmula com divisor
) — mostramos que a soma dos quadrados das diferenças não muda:
A variância populacional dos em relação à sua média
é
A variância populacional dos
Mas acabamos de achar que
, então isso vira
Compare com a variância populacional dos
em relação à média
(se a definirmos com divisor
):
Os dois expressam exatamente a mesma quantidade. Portanto a variância populacional após subtrair a média é igual à variância calculada em relação à
antes da subtração — ou dito de forma prática: a variância não muda.
Passo 6
Cálculo da variância amostral dos
(fórmula com divisor
):
A variância amostral dos é
A variância amostral dos
Como
, temos
Mas a variância amostral original dos
era
Logo
. Conclusão: a variância amostral também não muda.
Passo 7
Consequência para o desvio padrão:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Se a variância (populacional ou amostral) não muda após a transformação, então o desvio padrão também não muda. Formalmente,
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Se a variância (populacional ou amostral) não muda após a transformação, então o desvio padrão também não muda. Formalmente,
e
Passo 8
Intuição e exemplo numérico rápido (pra fixar): subtrair a média só “centraliza” os dados em zero — você desloca todo o conjunto para que o centro fique em
, mas as dispersões relativas (distâncias entre pontos e o centro) permanecem as mesmas, então variância e desvio padrão não mudam. Exemplo: considere
. A média
. Subtraindo a média obtemos
. A média de
é
. A soma dos quadrados das diferenças em relação à média original é
, a mesma soma que aparece em
. Dividindo por
ou por
dá variância igual antes e depois; o desvio padrão, raiz dessa variância, também é igual.
Resposta
A média passa a ser
.
A variância não muda (permanece igual).
O desvio padrão não muda (permanece igual).
A variância não muda (permanece igual).
O desvio padrão não muda (permanece igual).