Exercício 4. O que acontece com a média,com a variância e com o desvio padrão de um conjunto de dados quando:
Subtrai-se a média geral de cada observação.

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com a média, com a variância e com o desvio padrão de um conjunto de dados quando subtrai‑se a média geral de cada observação.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado): temos um conjunto de n observações x_1,x_2,\dots,x_n. Seja \bar{x} a média desse conjunto. Vamos aplicar a transformação y_i = x_i - \bar{x} para cada observação i=1,\dots,n. Precisamos analisar o efeito dessa transformação sobre: (1) a média dos y_i; (2) a variância (considerando as duas definições comuns: variância populacional e variância amostral); (3) o desvio padrão.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (vou explicar cada símbolo):
  • Média original: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Aqui \bar{x} é o valor médio dos x_i.
  • Variância populacional (definição com divisão por n): \displaystyle \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2. Nesta fórmula, \mu é a média populacional verdadeira; se estivermos trabalhando só com os dados e usar a média amostral, análogos abaixo. Para nossos fins práticos com a amostra usamos a soma dos quadrados das diferenças em relação à média.
  • Variância amostral (definição habitual em estatística inferencial): \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2. Aqui s^2 usa \bar{x} (média amostral) e divide por n-1.
  • Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. Variância populacional \sigma^2 tem desvio padrão \sigma=\sqrt{\sigma^2}. Variância amostral s^2 tem desvio padrão s=\sqrt{s^2}.

Passo 3

Definimos os dados transformados: \displaystyle y_i = x_i - \bar{x} para i=1,\dots,n. Vou calcular a média, a variância e o desvio padrão desses y_i.

Passo 4

Cálculo da média dos y_i:
Usamos a fórmula da média para os y_i:
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x}).
Separe a soma:
\bar{y}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar{x}\right).
Como \bar{x} é constante em relação a i, \sum_{i=1}^{n}\bar{x}=n\bar{x}. Portanto
\bar{y}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar{x}\right).
Mas por definição \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i = n\bar{x}. Logo
\bar{y}=\frac{1}{n}\left(n\bar{x}-n\bar{x}\right)=\frac{1}{n}\cdot 0 = 0.
Conclusão: a média dos y_i é 0.

Passo 5

Cálculo da variância populacional dos y_i (fórmula com divisor n) — mostramos que a soma dos quadrados das diferenças não muda:
A variância populacional dos y_i em relação à sua média \bar{y} é
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2.
Mas acabamos de achar que \bar{y}=0, então isso vira
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Compare com a variância populacional dos x_i em relação à média \bar{x} (se a definirmos com divisor n):
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Os dois expressam exatamente a mesma quantidade. Portanto a variância populacional após subtrair a média é igual à variância calculada em relação à \bar{x} antes da subtração — ou dito de forma prática: a variância não muda.

Passo 6

Cálculo da variância amostral dos y_i (fórmula com divisor n-1):
A variância amostral dos y_i é
s_y^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2.
Como \bar{y}=0, temos
s_y^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}y_i^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Mas a variância amostral original dos x_i era
s_x^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Logo s_y^2 = s_x^2. Conclusão: a variância amostral também não muda.

Passo 7

Consequência para o desvio padrão:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Se a variância (populacional ou amostral) não muda após a transformação, então o desvio padrão também não muda. Formalmente,
\sigma_y=\sqrt{\sigma_y^2}=\sqrt{\sigma_x^2}=\sigma_x
e
s_y=\sqrt{s_y^2}=\sqrt{s_x^2}=s_x.

Passo 8

Intuição e exemplo numérico rápido (pra fixar): subtrair a média só “centraliza” os dados em zero — você desloca todo o conjunto para que o centro fique em 0, mas as dispersões relativas (distâncias entre pontos e o centro) permanecem as mesmas, então variância e desvio padrão não mudam. Exemplo: considere x=(1,3,5). A média \bar{x}=\frac{1+3+5}{3}=3. Subtraindo a média obtemos y=( -2,0,2). A média de y é 0. A soma dos quadrados das diferenças em relação à média original é (-2)^2+0^2+2^2=8, a mesma soma que aparece em y. Dividindo por n ou por n-1 dá variância igual antes e depois; o desvio padrão, raiz dessa variância, também é igual.

Resposta

A média passa a ser 0.
A variância não muda (permanece igual).
O desvio padrão não muda (permanece igual).

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