Exercício 61. Sejam U_{2}, U_{3} os subespaços de \mathbb{R}^{3} dados por
U_{2}=\{(a, b, c) \mid a+b+c=0\}, \quad U_{3}=\{(0,0, c)\}
Mosque que \mathbb{R}^{3}=U_{2}+U_{3}. A suma é direta?

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^3:
U_{2} = \{(a,b,c)\mid a+b+c=0\}, \quad U_{3} = \{(0,0,c)\}.
Precisamos mostrar que
\mathbb{R}^3 = U_{2} + U_{3}
e decidir se essa soma é direta, isto é, se
U_{2}\cap U_{3} = \{(0,0,0)\}.

Passo 2

Para mostrar que \mathbb{R}^3 = U_{2}+U_{3}, pegamos um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 e buscamos escrevê-lo como soma de um elemento de U_{2} com um de U_{3}. Note que
(x,y,z) = (x,y,-x-y)\;+\;(0,0,z+x+y).
Aqui
(x,y,-x-y)\in U_{2} porque x+y+(-x-y)=0,
e
(0,0,z+x+y)\in U_{3} pois tem forma (0,0,c).

Passo 3

Como todo (x,y,z) admite essa decomposição, concluímos \mathbb{R}^3 = U_{2} + U_{3}.

Passo 4

Agora verificamos se a soma é direta, ou seja, se a única interseção de U_{2} e U_{3} é o vetor nulo. Seja
v=(0,0,c)\in U_{2}\cap U_{3}.
Por pertencer a U_{2} deve satisfazer 0+0+c=0, logo c=0. Assim v=(0,0,0) e
U_{2}\cap U_{3} = \{(0,0,0)\}.

Resposta

A soma gera todo \mathbb{R}^3 e a interseção é trivial, portanto
\mathbb{R}^3 = U_{2}\oplus U_{3}.

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