Exercício 61. Sejam
os subespaços de
dados por
Mosque que
. A suma é direta?
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
Precisamos mostrar que
e decidir se essa soma é direta, isto é, se
Passo 2
Para mostrar que
, pegamos um vetor arbitrário
e buscamos escrevê-lo como soma de um elemento de
com um de
. Note que
Aqui
porque
,
e
pois tem forma
.
e
Passo 3
Como todo
admite essa decomposição, concluímos
.
Passo 4
Agora verificamos se a soma é direta, ou seja, se a única interseção de
e
é o vetor nulo. Seja
Por pertencer a
deve satisfazer
, logo
. Assim
e
Resposta
A soma gera todo
e a interseção é trivial, portanto