Exercício 62. Sejam U_{1}, U_{3} os subespaços de \mathbb{R}^{3} dados por
U_{1}=\{(a, b, c) \mid a=c\}, \quad U_{3}=\{(0,0, c)\}
Mosque que \mathbb{R}^{3}=U_{1}+U_{3}. A suma é direta?

Passo 1

O enunciado nos dá os subespaços de \mathbb{R}^3
U_{1}=\{(a,b,c)\mid a=c\} \quad\text{e}\quad U_{3}=\{(0,0,c)\},
e pede para mostrar que \mathbb{R}^3=U_1+U_3 e perguntar se essa soma é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços (todo vetor de \mathbb{R}^3 se escreve como soma de um de U_1 e um de U_3) e a definição de soma direta (a intersecção é só o vetor zero).

Passo 2

Seja (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Precisamos encontrar
u\in U_1,\quad v\in U_3 \quad\text{tais que}\quad u+v=(x,y,z).
Como U_1 exige que as coordenadas 1 e 3 coincidam, escolhemos
u=(x,y,x)\in U_1
e como U_3 é todo da forma (0,0,c), escolhemos
v=(0,0,z-x)\in U_3.
Então
u+v = (x,y,x)+(0,0,z-x) = (x,y,z),
mostrando que qualquer vetor de \mathbb{R}^3 está em U_1+U_3. Logo \mathbb{R}^3=U_1+U_3.

Passo 3

Para ver se a soma é direta, calculamos a intersecção U_1\cap U_3. Um vetor em U_3 tem a forma (0,0,c) e para estar em U_1 precisa satisfazer a=c, ou seja 0=c. Isso força c=0, daí
U_1\cap U_3 = \{(0,0,0)\}.
Como a única intersecção é o vetor zero, a soma é direta.

Resposta

\mathbb{R}^3 = U_1 \oplus U_3, isto é, a soma é direta.

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