Exercício 62. Sejam
os subespaços de
dados por
Mosque que
. A suma é direta?
Passo 1
O enunciado nos dá os subespaços de
e pede para mostrar que
e perguntar se essa soma é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços (todo vetor de
se escreve como soma de um de
e um de
) e a definição de soma direta (a intersecção é só o vetor zero).
Passo 2
Seja
. Precisamos encontrar
Como
exige que as coordenadas 1 e 3 coincidam, escolhemos
e como
é todo da forma
, escolhemos
Então
mostrando que qualquer vetor de
está em
. Logo
.
Passo 3
Para ver se a soma é direta, calculamos a intersecção
. Um vetor em
tem a forma
e para estar em
precisa satisfazer
, ou seja
. Isso força
, daí
Como a única intersecção é o vetor zero, a soma é direta.