Exercício 63 : Se 2 é raiz dupla do polinômio P(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-8, encontre os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-8
e afirma que 2 é raiz de multiplicidade 2. Isso significa que além de P(2)=0, vale também P'(2)=0. Vamos usar essas duas condições para encontrar a e b.

Passo 2

Calculemos primeiro
P(2)=2^{3}-a\cdot2^{2}+b\cdot2-8=0.
Isso leva a
8-4a+2b-8=0 \quad\Longrightarrow\quad -4a+2b=0 \quad\Longrightarrow\quad b=2a.

Passo 3

Agora obtenha a derivada
P'(x)=3x^{2}-2a\,x+b
e imponha
P'(2)=3\cdot2^{2}-2a\cdot2+b=0.
Logo
12-4a+b=0 \quad\Longrightarrow\quad b=4a-12.

Passo 4

Temos o sistema
b=2a \quad\text{e}\quad b=4a-12.
Igualando as expressões de b:
2a=4a-12 \quad\Longrightarrow\quad 2a=12 \quad\Longrightarrow\quad a=6.
Então b=2a=12.

Resposta

a=6, b=12.

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