Exercício 62 : Determine as raízes reais do polinômio P(x)=x^{3}-4 x^{2}+x+6.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes reais do polinômio
P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6.
O conteúdo principal envolve o Teorema das Raízes Racionais para encontrar raízes inteiras ou fracionárias, divisão de polinômios (síntese) para fatorar, e em seguida resolver a equação quadrática resultante.

Passo 2

Pelas raízes racionais possíveis do Teorema das Raízes Racionais, os candidatos são os divisores de 6:
\pm1,\\ \pm2,\\ \pm3,\\ \pm6.

Passo 3

Testamos x=-1:
P(-1)=(-1)^{3}-4(-1)^{2}+(-1)+6=-1-4-1+6=0.
Como P(-1)=0, concluímos que x=-1 é raiz e, portanto, (x+1) é fator de P(x).

Passo 4

Fazemos divisão sintética de P(x) por (x+1):
Coeficientes de P: 1,\,-4,\,1,\,6
Raiz usada: -1
\begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & -4 & 1 & 6\\\ & & -1 & 5 & -6\\hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}
O quociente é x^{2}-5x+6 e o resto é 0.

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática
x^{2}-5x+6=0.
Podemos fatorar diretamente:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3),
que implica as raízes x=2 e x=3.

Resposta

As raízes reais de P(x) são
x=-1,\quad x=2,\quad x=3.

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