Exercício 4.64 Considere um cone circular reto incrito de “cabeça para baixo” dentro de um outro cone circular reto. As bases dos cones são paralelas e o vértice do cone inscrito está sobre o centro da base do cone maior. O cone maior tem raio da base 6 e altura 12. Quais os valores de altura e raio da base do cone menor que lhe proporcionam o maior volume possível? E quanto ao menor volume possível?

Passo 1

O enunciado descreve dois cones retos circulares com bases paralelas: o cone maior tem raio 6 e altura 12, e há um cone menor “de cabeça para baixo” inscrito no interior, com vértice no centro da base do maior e base inscrita na superfície lateral do maior. O problema é de otimização: usaremos semelhança de triângulos para expressar o raio r do cone menor em função de sua altura h e depois maximizaremos o volume via derivada.

Passo 2

Pelo desenho, o plano da base do cone menor está a uma distância h abaixo da base do cone maior (altura total 12), ou seja, a coordenada desse plano mede 12 - h a partir do vértice do cone grande. Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone grande e o triângulo correspondente ao corte:
\frac{r}{12 - h} \;=\;\frac{6}{12} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{6}{12}(12 - h) = 6 - \frac{h}{2}.

Passo 3

O volume do cone menor em função de h é
V(h) \;=\;\frac{\pi}{3}\,r^2\,h \;=\;\frac{\pi}{3}\Bigl(6 - \tfrac{h}{2}\Bigr)^{2}h.
Para achar extremos, derivamos:
V'(h) =\frac{\pi}{3}\,\frac{d}{dh}\bigl[(6 - \tfrac{h}{2})^2\,h\bigr] =\frac{\pi}{3}\Bigl(36 -12h + \tfrac{3h^2}{4}\Bigr).
A condição V'(h)=0 leva a
36 -12h + \tfrac{3h^2}{4}=0 \;\xLongrightarrow{\times4}\; 3h^2 -48h +144=0 \;\xLongrightarrow{}\; h^2 -16h +48=0,
cuja solução relevante em (0,12) é h=4.
Substituindo em r=6-\tfrac{h}{2}
r =6 - \frac{4}{2} =4.
O volume máximo é então
V_{\max}=\frac{\pi}{3}\,4^2\cdot4 =\frac{64\pi}{3}.

Passo 4

Nos extremos do intervalo fechado h=0 ou h=12 o volume degenera a zero. Logo, não há mínimo positivo interno: o menor volume possível tende a
V_{\min}=0
nos casos degenerados (altura h\to0 ou h\to12).

Resposta

Altura máxima: h=4, raio correspondente r=4, com volume máximo \tfrac{64\pi}{3}.
O menor volume possível é 0 (casos degenerados em que h\to0 ou h\to12).

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