Exercício 66 : Se P(x) dividido por x-3 deixa resto 4 e dividido por x+1 deixa resto -2, qual é o resto da divisão de P(x) por (x-3)(x+1) ?

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio P(x) que, ao ser dividido por x-3, deixa resto 4, ou seja, P(3)=4; e ao ser dividido por x+1, deixa resto -2, isto é, P(-1)=-2. Queremos o resto da divisão de P(x) por
(x-3)(x+1),
que é um polinômio de grau menor que 2. Vamos usar o Teorema do Resto e escrever esse resto genérico como r(x)=ax+b.

Passo 2

Como r(x) coincide com P(x) nos pontos em que o divisor zera, temos:
r(3)=P(3)=4\quad\Longrightarrow\quad a\cdot3+b=4\quad\Longrightarrow\quad 3a+b=4.

Passo 3

Do mesmo modo, em x=-1:
r(-1)=P(-1)=-2\quad\Longrightarrow\quad a\cdot(-1)+b=-2\quad\Longrightarrow\quad -a+b=-2.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3a+b=4,\\\\ -a+b=-2, \end{cases}
subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
3a+b-(-a+b)=4-(-2)\quad\Longrightarrow\quad 4a=6\quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac{3}{2}.
Substituindo em -a+b=-2:
-\tfrac{3}{2}+b=-2\quad\Longrightarrow\quad b=-2+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

O resto da divisão de P(x) por (x-3)(x+1) é
r(x)=\frac{3}{2}\,x-\frac{1}{2}.

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