Exercício 68 : Encontre um polinômio de grau 3 cujas raízes são -1,2 e 3, e que satisfaça P(0)=6.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau 3 com raízes -1, 2 e 3 e que satisfaça P(0)=6. Para encontrar esse polinômio, vamos usar o Teorema Fundamental da Álgebra e o fato de que, se a é raiz de P, então (x-a) é fator de P(x).

Passo 2

Como as raízes são -1, 2 e 3, o polinômio genérico de grau 3 pode ser escrito como
P(x)=k\,(x+1)(x-2)(x-3),
onde k é uma constante a determinar.

Passo 3

Usamos a condição P(0)=6. Calculamos
P(0)=k\,(0+1)(0-2)(0-3) = k\cdot1\cdot(-2)\cdot(-3) =6k.
Para que isso seja igual a 6, basta ter
6k=6 \quad\Longrightarrow\quad k=1.

Passo 4

Substituindo k=1 em P(x) e expandindo, temos
P(x)=(x+1)(x-2)(x-3).
Primeiro multiplica-se os dois primeiros fatores:
(x+1)(x-2)=x^2 -x -2.
Depois multiplica-se esse resultado por (x-3):
(x^2 -x -2)(x-3) =x^3 -4x^2 +x +6.

Resposta

P(x)=x^3-4x^2+x+6.

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