Exercício 67 : Determine a e b para que o polinômio P(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}-8 x-12 seja divisível por x^{2}-4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a e b tais que o polinômio
P(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}-8x-12
seja divisível por x^{2}-4. Como x^{2}-4=(x-2)(x+2), basta usar o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes): se (x-c) é fator de P(x), então P\text{(c)}=0. Logo, devemos ter
P(2)=0 \quad\text{e}\quad P(-2)=0.

Passo 2

Calculando P(2):
P(2)=2^{4}+a\cdot2^{3}+b\cdot2^{2}-8\cdot2-12 =16+8a+4b-16-12 =8a+4b-12.
Para que P(2)=0, requer-se
8a+4b-12=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2a+b-3=0.

Passo 3

Calculando P(-2):
P(-2)=(-2)^{4}+a(-2)^{3}+b(-2)^{2}-8(-2)-12 =16-8a+4b+16-12 =-8a+4b+20.
Para que P(-2)=0, requer-se
-8a+4b+20=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2a+b+5=0.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2a+b-3=0,\\\\ -2a+b+5=0, \end{cases}
da primeira equação vem b=3-2a e da segunda b=2a-5. Igualando:
3-2a=2a-5 \quad\Longrightarrow\quad 4a=8 \quad\Longrightarrow\quad a=2.
Substituindo em b=3-2a obtém-se
b=3-2\cdot2=3-4=-1.

Resposta

a=2,\;b=-1.

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