Exercício 4.69 Deseja-se construir um recipiente cilíndrico capaz de conter determinado volume de líquido.
do material utilizado na tampa e no fundo custa
3,00
R $2,00$. Obtenha uma relação simples entre o raio da base e a altura do recipiente, de modo que o custo de construção seja mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para construir um cilindro de raio
e altura
que comporte um volume fixo
. O material da tampa e do fundo custa R$3,00 por c
e o da lateral custa R$ 2,00 por c
. Queremos encontrar uma relação simples entre
e
que torne o custo total mínimo.
Passo 2
O volume
de um cilindro satisfaz
Como
é dado, podemos resolver para
:
Passo 3
O custo total
é a soma do custo da tampa e do fundo mais o custo da lateral:
– Área da tampa e do fundo:
. Custo por c
, logo custo =
.
– Área lateral: . Custo por c
, logo custo =
.
– Área lateral:
Portanto,
Passo 4
Substituindo
em
, temos
Passo 5
Para minimizar, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Então
Resposta
A relação que minimiza o custo é
.