Exercício 69 : (UFMG) Se P(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c tem raízes r, s e t, mostre que a= -(r+s+t).

Passo 1

O enunciado diz que
P(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c
tem raízes r, s e t. Queremos encontrar a em função de r+s+t. O conteúdo usado será a relação de Vieta, que liga os coeficientes de um polinômio às somas e produtos de suas raízes.

Passo 2

Como P(x) tem raízes r,s,t, podemos escrevê-la na forma fatorada
P(x)=(x - r)(x - s)(x - t).
Vamos expandir passo a passo: primeiro
(x - r)(x - s)=x^{2} - (r+s)x + rs.
Multiplicando por (x - t) obtemos
\begin{aligned} P(x)&=\bigl(x^{2} - (r+s)x + rs\bigr)(x - t)\\\ &=x^{3} - t\,x^{2} - (r+s)x^{2} + (r+s)t\,x + rs\,x - rs\,t\\\ &=x^{3} - (r+s+t)\,x^{2} + (rs+rt+st)\,x - rst. \end{aligned}
Comparando com a forma dada x^{3}+a x^{2}+b x+c, vemos que o coeficiente de x^{2} é
a = -\bigl(r+s+t\bigr).

Resposta

a=-(r+s+t)

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