Exercício 7. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.
f(x)=\frac{2+x}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{2+x}{1-x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma razão entre dois polinômios: numerador 2+x e denominador 1-x.
  • Pontos potenciais de problema ocorrem onde o denominador vale zero, ou seja onde 1-x=0.
  • Para assíntotas horizontais é preciso analisar o comportamento de f(x) quando x\to+\infty e quando x\to-\infty.

Passo 2

Conceito e teste para assíntota vertical (mini-aula): uma reta vertical x=a é assíntota vertical quando a função tende a +\infty ou -\infty ao nos aproximarmos de x=a. Para funções racionais, candidatos naturais são os zeros do denominador que não são cancelados por zeros do numerador. Aqui o denominador anula-se quando
1-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Calcular o valor do numerador em x=1:
2+x\big|_{x=1}=2+1=3\neq 0.
Como o numerador não zera em x=1, não há cancelamento de fator; portanto x=1 é um candidato a assíntota vertical. Próximo passo: verificar que a função realmente diverge quando x\to1.

Passo 3

Análise dos limites laterais (mini-aula sobre sinais): para ver se a função diverge para +\infty ou -\infty ao aproximar de x=1, olhamos o sinal do numerador e do denominador próximos de x=1.
  • O numerador 2+x perto de x=1 é aproximadamente 3, ou seja positivo.
  • O denominador 1-x para x\to1^{-} (pela esquerda) é um número positivo muito pequeno; para x\to1^{+} (pela direita) é um número negativo muito pequeno.
    Portanto:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{2+x}{1-x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{2+x}{1-x}=-\infty.
Como existe divergência para \pm\infty nas laterais, confirma‑se que x=1 é realmente uma assíntota vertical.

Passo 4

Forma alternativa e interpretação (mini-aula sobre decomposição): é útil reescrever a função para ver comportamento assintótico. Faço divisão algébrica simples:
\frac{2+x}{1-x} = -\frac{x+2}{x-1}.
Fazendo a decomposição por soma de termo constante e termo que tende a zero:
\frac{2+x}{1-x} = -1 + \frac{3}{1-x}.
Verificação rápida:
-1+\frac{3}{1-x}=\frac{-1(1-x)+3}{1-x}=\frac{-1+ x +3}{1-x}=\frac{x+2}{1-x}.
Essa forma mostra que f(x) é a soma de uma constante -1 e de um termo \dfrac{3}{1-x} que tende a zero quando |x|\to\infty.

Passo 5

Conceito e teste para assíntota horizontal (mini-aula): uma reta y=L é assíntota horizontal quando \lim_{x\to+\infty}f(x)=L e/ou \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. Para funções racionais com numerador e denominador polinomiais, uma regra prática é comparar os graus:
  • Se o grau do numerador é menor que o do denominador, então y=0 é assíntota horizontal.
  • Se os graus são iguais, a assíntota horizontal é y= razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador for maior em exatamente 1, pode haver assíntota oblíqua (reta inclinada).
    Aqui ambos têm grau 1 (linha no numerador e linha no denominador). Os coeficientes do termo de maior grau são: no numerador coeficiente de x é 1; no denominador escrevendo 1-x=-x+1, o coeficiente de x é -1. Logo a razão é
\frac{1}{-1}=-1.

Passo 6

Cálculo do limite no infinito (duas formas para fixar a ideia):
  • Pela divisão feita em \displaystyle f(x)=-1+\frac{3}{1-x}, quando x\to\pm\infty temos \dfrac{3}{1-x}\to 0. Assim
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-1, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.
  • Pelo método de dividir numerador e denominador por x:
f(x)=\frac{x+2}{1-x}=\frac{1+\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}-1}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{} \frac{1+0}{0-1}=-1.
Em ambos os casos o limite é -1, o que mostra que a reta y=-1 é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.

Resposta

x=1
y=-1

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