Mostre que as equções abaixo são homogêneas e encontre suas soluções.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a equação
é homogênea (no sentido de equações diferenciais de primeira ordem) e (ii) encontrar a solução geral dessa equação.
Informações fornecidas: a equação diferencial primeira ordem dada acima. Não há mais dados numéricos; espera-se achar a família de soluções em função de uma constante arbitrária.
Informações fornecidas: a equação diferencial primeira ordem dada acima. Não há mais dados numéricos; espera-se achar a família de soluções em função de uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro vamos explicitar o que significa aqui “homogênea”. Para equações de primeira ordem, dizemos que a equação é homogênea quando pode ser escrita na forma
ou seja, quando o lado direito depende apenas da razão
. Isso é importante porque existe a substituição clássica
que transforma a equação numa equação separável em
e
.
Agora transformo a equação dada para ver se ela tem essa forma. Divido a equação original por
(supondo
):
Isolando
,
O lado direito depende somente de
(é
), logo a equação é homogênea no sentido mencionado. Pronto: mostrado.
Passo 3
Aplicamos a substituição padrão para equações homogêneas:
Substituindo na equação reescrita
, obtemos
Agora faço as manipulações algébricas para isolar
:
Logo
Esta é uma equação separável em
e
: todas as ocorrências de
estão do lado esquerdo, e de
do lado direito.
Passo 4
Separe variáveis e integre:
Integramos ambos os lados:
Calcule a integral à esquerda com uma substituição linear ou reconhecendo a forma logarítmica. Escrevendo
temos
A primitiva do lado esquerdo é
. Assim
onde
é constante de integração. Multiplicando por
e reescrevendo a constante de forma mais conveniente:
Exponenciando ambos os lados:
onde
é outra constante arbitrária (podemos absorver sinal em uma constante real
). Para trabalhar de forma simples, escrevo
onde
é uma constante real arbitrária (pode ser zero ou ter sinal).
Passo 5
Volto à variável original:
. Substituindo em
obtenho
Multiplicando por
:
Isolando
:
Renomeando a constante arbitrária
, a solução geral fica mais bonita:
onde
é constante real arbitrária. Observações importantes: (i) essa solução é válida em intervalos onde
; (ii) a reta
é obtida ao tomar
(ela aparece como caso particular da família); (iii) no ponto isolado
a equação original reduz a
mas a derivada não é bem definida, então trata-se de ponto singular — em geral trabalhamos em intervalos que não contêm
.
Força aí — essa técnica de usar
em equações homogêneas é uma das mais úteis em provas e exercícios curtos!