Mostre que as equções abaixo são homogêneas e encontre suas soluções.
x \frac{d y}{d x}+x+y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a equação
x\frac{dy}{dx}+x+y=0
é homogênea (no sentido de equações diferenciais de primeira ordem) e (ii) encontrar a solução geral dessa equação.
Informações fornecidas: a equação diferencial primeira ordem dada acima. Não há mais dados numéricos; espera-se achar a família de soluções em função de uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro vamos explicitar o que significa aqui “homogênea”. Para equações de primeira ordem, dizemos que a equação é homogênea quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right),
ou seja, quando o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso é importante porque existe a substituição clássica
y = v x \quad\text{(com \(v\) função de \(x\))},çã
que transforma a equação numa equação separável em v e x.
Agora transformo a equação dada para ver se ela tem essa forma. Divido a equação original por x (supondo x\neq0):
\frac{dy}{dx} + 1 + \frac{y}{x} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} = -1 - \frac{y}{x}.
O lado direito depende somente de \dfrac{y}{x} F(y/x) = -1 - y/x), logo a equação é homogênea no sentido mencionado. Pronto: mostrado.

Passo 3

Aplicamos a substituição padrão para equações homogêneas:
y = v x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação reescrita \dfrac{dy}{dx} = -1 - \dfrac{y}{x}, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = -1 - v.
Agora faço as manipulações algébricas para isolar \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = -1 - v - v = -1 - 2v.
Logo
\frac{dv}{dx} = \frac{-1-2v}{x}.
Esta é uma equação separável em v e x: todas as ocorrências de v estão do lado esquerdo, e de x do lado direito.

Passo 4

Separe variáveis e integre:
\frac{dv}{-1-2v} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{-1-2v} = \int \frac{dx}{x}.
Calcule a integral à esquerda com uma substituição linear ou reconhecendo a forma logarítmica. Escrevendo
\frac{1}{-1-2v} = -\frac{1}{1+2v},
temos
\int -\frac{dv}{1+2v} = \int \frac{dx}{x}.
A primitiva do lado esquerdo é -\dfrac{1}{2}\ln|1+2v|. Assim
-\frac{1}{2}\ln|1+2v| = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por -2 e reescrevendo a constante de forma mais conveniente:
\ln|1+2v| = -2\ln|x| + C_1 = \ln\!\big(|x|^{-2}\big) + C_1.
Exponenciando ambos os lados:
|1+2v| = C_2 x^{-2},
onde C_2>0 é outra constante arbitrária (podemos absorver sinal em uma constante real C). Para trabalhar de forma simples, escrevo
1+2v = C x^{-2},
onde C é uma constante real arbitrária (pode ser zero ou ter sinal).

Passo 5

Volto à variável original: v=\dfrac{y}{x}. Substituindo em 1+2v = C x^{-2} obtenho
1 + 2\frac{y}{x} = C x^{-2}.
Multiplicando por x:
x + 2y = C x^{-1}.
Isolando y:
2y = C x^{-1} - x \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{x}{2} + \frac{C}{2}x^{-1}.
Renomeando a constante arbitrária K=\dfrac{C}{2}, a solução geral fica mais bonita:
y(x) = -\frac{x}{2} + \frac{K}{x},
onde K é constante real arbitrária. Observações importantes: (i) essa solução é válida em intervalos onde x\neq0; (ii) a reta y=-\dfrac{x}{2} é obtida ao tomar K=0 (ela aparece como caso particular da família); (iii) no ponto isolado x=0 a equação original reduz a y=0 mas a derivada não é bem definida, então trata-se de ponto singular — em geral trabalhamos em intervalos que não contêm 0.
Força aí — essa técnica de usar y=vx em equações homogêneas é uma das mais úteis em provas e exercícios curtos!

Resposta

y(x) = -\frac{x}{2} + \frac{K}{x},\quad K\in\mathbb{R}.

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