Exercício 8. Ache a solução geral do sistema de equações dado:
X^{\prime}=\left[ \begin{array}{cc}5 & 3 \\ -3 & 1\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
X' = \begin{pmatrix}5 & 3 \\[6pt] -3 & 1\end{pmatrix}X.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes por autovalores e autovetores. Vamos calcular o polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores, montar a solução complexa e depois extrair as soluções reais independentes.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A = \begin{pmatrix}5 & 3 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix}:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & 3 \\[3pt] -3 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)(1-\lambda)+9 = \lambda^2 -6\lambda +14.
As raízes são
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 -56}}{2} = 3 \pm i\sqrt{5}.]

Passo 3

Para \lambda = 3 + i\sqrt{5} resolvemos (A - \lambda I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}2 - i\sqrt{5} & 3 \\[3pt] -3 & -2 - i\sqrt{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem (2 - i\sqrt{5})x + 3y=0, então podemos escolher
v = \begin{pmatrix}3\\[3pt]-2 + i\sqrt{5}\end{pmatrix},
que satisfaz a relação acima.]

Passo 4

Uma solução complexa do sistema é
X_c(t) = e^{(3 + i\sqrt{5})t}\,v.
Escrevendo e^{(3 + i\sqrt{5})t} = e^{3t}(\cos(\sqrt{5}\,t) + i\sin(\sqrt{5}\,t)) e multiplicando por v, obtemos partes real e imaginária.

Passo 5

As duas soluções reais independentes são
X_1(t) = e^{3t} \begin{pmatrix} 3\cos(\sqrt{5}\,t)\\[3pt] -2\cos(\sqrt{5}\,t) \;-\;\sqrt{5}\,\sin(\sqrt{5}\,t) \end{pmatrix}, \quad X_2(t) = e^{3t} \begin{pmatrix} 3\sin(\sqrt{5}\,t)\\[3pt] -2\sin(\sqrt{5}\,t) \;+\;\sqrt{5}\,\cos(\sqrt{5}\,t) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Como as soluções X_1 e X_2 formam base, a solução geral é
X(t) = C_1\,X_1(t) + C_2\,X_2(t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t) = C_1\,e^{3t} \begin{pmatrix} 3\cos(\sqrt{5}\,t)\\[3pt] -2\cos(\sqrt{5}\,t) - \sqrt{5}\,\sin(\sqrt{5}\,t) \end{pmatrix} \;+\; C_2\,e^{3t} \begin{pmatrix} 3\sin(\sqrt{5}\,t)\\[3pt] -2\sin(\sqrt{5}\,t) + \sqrt{5}\,\cos(\sqrt{5}\,t) \end{pmatrix}.]

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