Exercício 8. Ache a solução geral do sistema de equações dado:
X^{\prime}=\left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs de primeira ordem
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]-3 & -2\end{pmatrix},
e X(t)=(x(t),y(t))^T.
O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes. A ideia é encontrar os autovalores de A (que poderão ser complexos), obter a equação para x(t) como EDO de segunda ordem e depois recuperar y(t).]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix}1-\lambda & 1\\[3pt]-3 & -2-\lambda\end{vmatrix} =(1-\lambda)(-2-\lambda)-(-3)\;=\;\lambda^2+\lambda+1.
Assim, os autovalores são as raízes de \lambda^2+\lambda+1=0, ou seja
\lambda = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
]

Passo 3

Como os autovalores são complexos conjugados, teremos solução real de oscilações amortecidas. Para construir essa solução, note que da primeira equação x' = x+y segue
y = x' - x.
Substituindo na segunda equação y'=-3x-2y leva a
x'' - x' = -3x -2(x'-x) \;\Longrightarrow\; x'' + x' + x = 0.

Passo 4

Resolvendo a EDO de segunda ordem
x'' + x' + x = 0
o polinômio característica é r^2+r+1=0 com raízes
\,r=-\tfrac12\pm i\frac{\sqrt3}{2}.
Logo a solução geral para x(t) é
x(t) = e^{-t/2}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)\Bigr),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora usamos y = x' - x. Calculando
x'(t) = e^{-t/2}\bigl(-\tfrac12C_1\cos\tfrac{\sqrt3}{2}t +\tfrac{\sqrt3}{2}C_2\cos\tfrac{\sqrt3}{2}t -\tfrac12C_2\sin\tfrac{\sqrt3}{2}t -\tfrac{\sqrt3}{2}C_1\sin\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)
e subtraindo x(t) obtemos
y(t) = e^{-t/2}\Bigl[ \bigl(-\tfrac32C_1+\tfrac{\sqrt3}{2}C_2\bigr)\cos\tfrac{\sqrt3}{2}t +\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}C_1-\tfrac32C_2\bigr)\sin\tfrac{\sqrt3}{2}t \Bigr].

Resposta

\begin{cases} x(t)=e^{-t/2}\bigl(C_1\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)+C_2\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr),\\[6pt] y(t)=e^{-t/2}\bigl[\bigl(-\tfrac32C_1+\tfrac{\sqrt3}{2}C_2\bigr)\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t) +\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}C_1-\tfrac32C_2\bigr)\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr], \end{cases}
once C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
]

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