Exercício 8. Ache a solução geral do sistema de equações dado:
X^{\prime}=\left[ \begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear a coeficientes constantes
\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X},
onde
A = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[6pt] -2 & 0\end{pmatrix}.
O conteúdo é a teoria de sistemas lineares: calculamos valores próprios de A, obtemos vetores próprios e depois construímos a solução real geral.]

Passo 2

Encontramos os valores próprios resolvendo
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 2 \\[4pt] -2 & -\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 + 4 = 0.
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\lambda_{1} = 2\,i, \quad \lambda_{2} = -2\,i.]

Passo 3

Para \lambda_{1}=2i, resolvemos (A - 2i\,I)v=0:
\begin{pmatrix}-2i & 2 \\[4pt] -2 & -2i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\\ v_{2}\end{pmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2i\,v_{1} + 2\,v_{2} = 0 \;\Rightarrow\; v_{2} = i\,v_{1}.
Tomamos v = \bigl(1,i\bigr)^{T}. Para \lambda_{2}=-2i o vetor próprio é o conjugado \bar v=(1,-i)^{T}.]

Passo 4

Escrevemos a solução complexa geral
\mathbf{X}(t) = C_{1}\,v\,e^{2i\,t} + C_{2}\,\bar v\,e^{-2i\,t},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{C}. Para passar à forma real, separamos parte real e imaginária de v\,e^{2i\,t}.

Passo 5

Calculamos
v\,e^{2i\,t} =\begin{pmatrix}1\\\ i\end{pmatrix}(\cos2t + i\sin2t) =\begin{pmatrix}\cos2t + i\sin2t\\[4pt] i\cos2t - \sin2t\end{pmatrix}.
A parte real é \begin{pmatrix}\cos2t\\\\ -\sin2t\end{pmatrix} e a imaginária é \begin{pmatrix}\sin2t\\\ \cos2t\end{pmatrix}. Assim a solução real geral fica
\mathbf{X}(t) = A\,\begin{pmatrix}\cos2t\\[4pt]-\sin2t\end{pmatrix} + B\,\begin{pmatrix}\sin2t\\[4pt]\cos2t\end{pmatrix},
onde A e B são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\boxed{ \mathbf{X}(t) = A\begin{pmatrix}\cos2t\\[4pt]-\sin2t\end{pmatrix} + B\begin{pmatrix}\sin2t\\[4pt]\cos2t\end{pmatrix}, \quad A,B\in\mathbb{R}. }]

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