Exercício 9. Qual o ângulo entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos em um relógio marcando 4 horas e 30 minutos?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o ponteiro das horas e o dos minutos num relógio marcando 4 h 30. O conteúdo envolve geometria de relógios: o ponteiro dos minutos faz 360^\circ em 60 min (ou seja, 6^\circ/min) e o das horas faz 360^\circ em 12 h (ou seja, 30^\circ/h ou 0,5^\circ/min). Vamos usar essas velocidades angulares para achar as posições absolutas de cada ponteiro a partir de 12 h.

Passo 2

A posição do ponteiro dos minutos \theta_m é dada por
\theta_m = \text{minutos} \times 6^\circ.
Como são 30 min,
\theta_m = 30 \times 6^\circ = 180^\circ.

Passo 3

A posição do ponteiro das horas \theta_h é
\theta_h = \text{horas} \times 30^\circ + \text{minutos} \times 0,5^\circ.
Em 4 h 30:
\theta_h = 4 \times 30^\circ + 30 \times 0,5^\circ = 120^\circ + 15^\circ = 135^\circ.

Passo 4

O ângulo entre os ponteiros é o valor absoluto da diferença:
\Delta = \bigl|\theta_m - \theta_h\bigr| = \bigl|180^\circ - 135^\circ\bigr| = 45^\circ.
Como esse já é menor que 180^\circ, ele é o menor ângulo buscado.

Resposta

45^\circ

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