Exercício 2.5 Aplicando limites por caminhos, mostre que f(x, y)=\frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} não tem limite quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y),
com
f(x,y)=\frac{2x^2y}{x^4+y^2},
não existe. Em funções de duas variáveis, um critério prático é verificar limites ao longo de diferentes caminhos: se eles fornecerem valores distintos, o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos caminhos do tipo y = m\,x^2, com m constante. Substituindo em f:
f(x,m x^2) = \frac{2\,x^2\,(m x^2)}{x^4 + (m x^2)^2} = \frac{2m\,x^4}{x^4 + m^2x^4} = \frac{2m\,x^4}{x^4(1+m^2)} = \frac{2m}{1+m^2}.
Esse valor não depende de x, de modo que \displaystyle \lim_{x\to0}f(x,m x^2)=\frac{2m}{1+m^2}.

Passo 3

Para caminhos distintos, o resultado muda:
– Se m=0 (eixo x), então
\lim_{x\to0}f(x,0)=\frac{2\cdot0}{1+0}=0.
– Se m=1 (curva y=x^2), então
\lim_{x\to0}f(x,x^2)=\frac{2\cdot1}{1+1}=1.
Como 0\neq1, o valor do limite depende do caminho.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^2y}{x^4+y^2} não existe.

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