O enunciado pede para verificar a existência (e, quando existir, calcular) de seis limites de funções de duas variáveis. Vamos usar três técnicas principais: continuidade de polinômios, teste de caminhos diferentes para mostrar que o limite não existe, teorema do sanduíche (squeeze) e manipulação algébrica (multiplicação pelo conjugado ou fatoração).
Passo 2
Para (a) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(5,-2)}x^{5}+4x^{2}y-5xy^{2}
essa é uma função polinomial em (x,y), e polinômios são contínuos. Logo basta substituir (x,y)=(5,-2):
Para (i) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
escrevemos x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}). Para (x,y)\neq(0,0) isso simplifica para
x^{2}-y^{2},
e quando (x,y)\to(0,0) claramente x^{2}-y^{2}\to0. Portanto o limite existe e vale 0.
Resposta
(a) \,2825
(b) não existe
(c) \,0
(g) \,2
(h) não existe
(i) \,0