Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem <= n), isto é, de Pn=a0+a1 t+ldots+an t^n, a0, ldots, an in R, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
f(0)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço Pn = a0 + a1t + cdots + ant^n mid aiinR de todos os polinômios de grau no máximo n. Queremos estudar o subconjunto
S = finPn mid f(0)=0
e ver se ele é subespaço vetorial de Pn. Se for, devemos encontrar sua dimensão.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço vetorial, usamos o critério de subespaço:
  1. O polinômio nulo 0(t)=0 pertence a S, pois 0(0)=0.
  2. Sejam f,gin S. Então f(0)=0 e g(0)=0. Logo
(f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0,
portanto f+gin S.
3. Seja lambdainR e fin S. Então
(lambda f)(0) = lambdacdot f(0) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda fin S.
Como S contém o nulo e é fechado em soma e multiplicação escalar, concluímos que S é subespaço de Pn.

Passo 3

Qual é a forma geral de um polinômio em S? Como f(0)=a0=0, todo fin S é
f(t) = a1t + a2t^2 + cdots + ant^n
Isso mostra que t, t^2, dots, t^n gera S. Esses vetores são linearmente independentes, porque nenhuma combinação
c1t + c2t^2 + cdots + cnt^n = 0
para todo t admite outra solução além de c1=cdots=cn=0. Portanto
t, t^2, dots, t^n
é uma base de S.

Resposta

O conjunto finPnmid f(0)=0 é um subespaço vetorial de Pn e sua dimensão é n.

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