Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem
), isto é, de
, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
.
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço
de todos os polinômios de grau no máximo
. Queremos estudar o subconjunto
e ver se ele é subespaço vetorial de
. Se for, devemos encontrar sua dimensão.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial, usamos o critério de subespaço:
- O polinômio nulo
pertence a , pois . - Sejam
. Então e . Logo
portanto
.
3. Seja e
. Então
3. Seja
logo
.
Como contém o nulo e é fechado em soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço de
.
Como
Passo 3
Qual é a forma geral de um polinômio em
? Como
, todo
é
Isso mostra que
gera
. Esses vetores são linearmente independentes, porque nenhuma combinação
para todo
admite outra solução além de
. Portanto
é uma base de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
e sua dimensão é
.