Exercício 2. Este exercício complementa o Exercício 17 do Capítulo 5 do Evans. Seja
Dica: Reduzir ao caso em que é positiva e negativa, e utilizar os Exercícios 17 e 18 do Evans.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
onde não é diferenciável. Para isso vamos:
Passo 2
Suponha que
onde são as derivadas à esquerda e à direita em
. Cada
é
em
e satisfaz
. Pelo Exercício
de Evans, para
vale
Passo 3
Note que
Como
e
cobrem
e suas fronteiras (onde
) têm medida zero para derivadas fracas, podemos “colar” as duas expressões de
e obter que
Passo 4
Pela parte (b) do Exercício
de Evans, toda função
satisfaz
quase sempre em cada nivel set
. Em particular, em
vale
quase sempre. Como
é o único ponto de não-diferenciabilidade de
, definindo
obtemos a fórmula desejada em todo
.