Exercício 2. Este exercício complementa o Exercício 17 do Capítulo 5 do Evans. Seja
Dica: Reduzir ao caso em que é positiva e negativa, e utilizar os Exercícios 17 e 18 do Evans.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se
onde não é diferenciável. Para isso vamos:
) reduzir ao caso em que ,
) separar as regiões e ,
) aplicar o Exercício de Evans em cada região, e
) usar o Exercício de Evans para mostrar que em .

Passo 2

Suponha que
onde são as derivadas à esquerda e à direita em . Cada é em e satisfaz . Pelo Exercício de Evans, para vale

Passo 3

Note que
f+circ u=fcirc uem u>=0, f-circ u=fcirc uem u<=0
Como u>0 e u<0 cobrem Omegasetminusu=0 e suas fronteiras (onde u=0) têm medida zero para derivadas fracas, podemos “colar” as duas expressões de fcirc u e obter que
fcirc uin W^1(Omega), nabla(fcirc u)(x) =l(f'(u(x))r),nabla u(x) para quase todo x com u(x)neq0

Passo 4

Pela parte (b) do Exercício 18 de Evans, toda função uin W^1(Omega) satisfaz nabla u=0 quase sempre em cada nivel set u=a. Em particular, em u=0 vale nabla u=0 quase sempre. Como 0 é o único ponto de não-diferenciabilidade de f, definindo
nabla(fcirc u)(x)=0 quando u(x)=0
obtemos a fórmula desejada em todo Omega.

Resposta

fcirc uin W^1(Omega), nabla(fcirc u) = l(f'circ ur),nabla u,&u(x)notin L, 0,&u(x)in L

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