Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem <= n), isto é, de Pn=a0+a1 t+ldots+an t^n, a0, ldots, an in R, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
f(0)=f(1).

Passo 1

O enunciado pede para estudar o subconjunto
S = ,fin Pn : f(0)=f(1)
onde Pn é o espaço dos polinômios de grau <= n.
Precisamos verificar se S é subespaço vetorial de Pn e, caso positivo, determinar a sua dimensão.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço de Pn basta checar três coisas:
1. O polinômio zero pertence a S, pois 0(0)=0=0(1).
2. Se f,gin S, então
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=f(1)+g(1)=(f+g)(1),
logo f+gin S.
3. Se fin S e alphain R, então
(alpha f)(0)=alpha f(0)=alpha f(1)=(alpha f)(1),
logo alpha fin S.
Portanto S é subespaço vetorial.

Passo 3

Defina o funcional linear
L: Pnto R, L(f)=f(1)-f(0)
Temos S=ker L. Como Pn tem dimensão n+1 e L é não nulo (por exemplo L(t)=1), seu posto é 1. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
dim S = dimker L = dim Pn - rankL = (n+1) - 1 = n

Resposta

O conjunto ,fin Pn : f(0)=f(1) é um subespaço vetorial de Pn e possui dimensão n.

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