Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem
), isto é, de
, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar o subconjunto
onde é o espaço dos polinômios de grau
.
Precisamos verificar se é subespaço vetorial de
e, caso positivo, determinar a sua dimensão.
onde
Precisamos verificar se
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
basta checar três coisas:
. O polinômio zero pertence a
, pois
.
. Se
, então
logo
.
. Se
e
, então
logo
.
Portanto é subespaço vetorial.
Portanto
Passo 3
Defina o funcional linear
Temos
. Como
tem dimensão
e
é não nulo (por exemplo
), seu posto é
. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
e possui dimensão
.