5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(x^3 y^2-y) d x+(x^2 y^4-x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x^3y^2-y),dx + (x^2y^4-x),dy = 0
e pede um fator integrante e a solução geral. O conteúdo é de equações exatas e fatores integrantes do tipo mu(x,y)=x^my^n.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando
M(x,y)=x^3y^2-y, N(x,y)=x^2y^4-x,
partial Mpartial y=2x^3y-1, partial Npartial x=2xy^4-1
Como partial M/partial yneq partial N/partial x, não é exata.

Passo 3

Procuramos mu(x,y)=x^my^n tal que mu M,dx+mu N,dy seja exata. Isso exige
partialpartial yl(x^my^nMr) =partialpartial xl(x^my^nNr)
Ao comparar os expoentes, obtemos as condições n+2=0 e m+2=0, ou seja
m=-2, n=-2,
logo mu(x,y)=x^-2y^-2.

Passo 4

Multiplicando por mu obtemos
tilde M = x^-2y^-2(x^3y^2-y)=x - x^-2y^-1,
tilde N = x^-2y^-2(x^2y^4-x)=y^2-x^-1y^-2,
e de fato
partial tilde Mpartial y =partial tilde Npartial x =x^-2y^-2,
ou seja, a equação torna-se exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial F(x,y) tal que partial F/partial x=tilde M e partial F/partial y=tilde N.
Integrando tilde M em x:
F(x,y)=integrall(x - x^-2y^-1r),dx =x^22+x^-1y^-1+h(y)
Derivando em y e igualando a tilde N:
partial Fpartial y =-x^-1y^-2+h'(y) overset!=y^2-x^-1y^-2 ;Longrightarrow;h'(y)=y^2 ;Longrightarrow;h(y)=y^33
Logo
F(x,y)=x^22+1xy+y^33

Resposta

A solução geral é
x^22+1xy+y^33=C,
onde C é constante arbitrária.

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