Exercício 9. (Apostol seção 14.16 exercício 8) Uma variável aleatória tem um distribuição normal padrão Phi. Prove que
a) Phi(-x)=1-Phi(x).
b) P(|X|<k)=2 Phi(k)-1.
c) P(|X|>k)=2(1-Phi(k)).

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória X com distribuição normal padrão, cuja função de distribuição é
Phi(x) = 1raiz2piintegral-infty^x e^-t^2/2,dt
Para resolver as três partes, vamos usar a simetria da densidade normal padrão
f(t)=1raiz2pie^-t^2/2,
que satisfaz f(t)=f(-t), além de propriedades de integrais e de probabilidades de eventos simétricos.

Passo 2

Prova de Phi(-x)=1-Phi(x).
Começamos por escrever
Phi(-x)=integral-infty^-xf(t),dt
Fazendo a substituição u=-t, temos du=-dt e quando t=-infty então u=+infty, e quando t=-x então u=x. Assim,
Phi(-x) =integral-infty^-xf(t),dt =integral+infty^xf(-u),(-du) =integralx^+inftyf(u),du
Como a integral total da densidade é 1,
integralx^+inftyf(u),du =1-integral-infty^xf(u),du =1-Phi(x)
Logo Phi(-x)=1-Phi(x).

Passo 3

Prova de P(|X|<k)=2Phi(k)-1.
Pela definição de probabilidade,
P(|X|<k) =integral-k^kf(t),dt =integral-infty^kf(t),dt-integral-infty^-kf(t),dt =Phi(k)-Phi(-k)
Usando o resultado de Phi(-k)=1-Phi(k), obtemos
P(|X|<k)=Phi(k)-l(1-Phi(k)r) =2Phi(k)-1

Passo 4

Prova de P(|X|>k)=2(1-Phi(k)).
Como P(|X|>k)=1-P(|X|<= k) e para variável contínua P(|X|<= k)=P(|X|<k), segue
P(|X|>k)=1-l(2Phi(k)-1r) =2-2Phi(k) =2l(1-Phi(k)r)

Resposta

a) Phi(-x)=1-Phi(x).
b) P(|X|<k)=2Phi(k)-1.
c) P(|X|>k)=2l(1-Phi(k)r).

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