Exercício 9. (Apostol seção 14.16 exercício 8) Uma variável aleatória tem um distribuição normal padrão
. Prove que
a)
.
b)
.
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado trata de uma variável aleatória
com distribuição normal padrão, cuja função de distribuição é
Para resolver as três partes, vamos usar a simetria da densidade normal padrão
que satisfaz
, além de propriedades de integrais e de probabilidades de eventos simétricos.
Passo 2
Prova de
.
Começamos por escrever
Começamos por escrever
Fazendo a substituição
, temos
e quando
então
, e quando
então
. Assim,
Como a integral total da densidade é 1,
Logo
.
Passo 3
Prova de
.
Pela definição de probabilidade,
Pela definição de probabilidade,
Usando o resultado de
, obtemos
Passo 4
Prova de
.
Como e para variável contínua
, segue
Como
Resposta
a)
.
b) .
c) .
b)
c)