Exercício 8. (Apostol seção 14.16 exercício 2) Um material radioativo obedece uma lei de decaimento exponencial com tempo de meia vida de 2 anos. Considere o tempo de decaimento X (em anos) de um átomo e assuma que X tenha distribuição exponencial. Calcule a probabilidade de que o átomo se desintegre:
a) Num intervalo entre 1 <= X <= 2.
b) Num intervalo entre 2 <= X <= 3.
c) Num intervalo entre 2 <= X <= 3, dado que não se desintegrou em 0 <= X <= 2.
d) Num intervalo entre 2 <= X <= 3, dado que não se desintegrou em 1 <= X <= 2

Passo 1

O enunciado trata de um decaimento exponencial com tempo de meia-vida T1/2=2 anos. Se X é o tempo de decaimento, então
lambda = ln 2T1/2 = ln 22,
e a função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X<= x)=1-e^-lambda x, x>=0
Vamos usar P(a<= X<= b)=F(b)-F(a) e, para condicionais,
P(Amid B)=P(Acap B)P(B)

Passo 2

(a)
P(1<= X<= 2) =F(2)-F(1) =l(1-e^-lambdacdot2r)-l(1-e^-lambdacdot1r) =e^-lambda-e^-2lambda

Passo 3

(b)
P(2<= X<= 3) =F(3)-F(2) =l(1-e^-lambdacdot3r)-l(1-e^-lambdacdot2r) =e^-2lambda-e^-3lambda

Passo 4

(c)
P(2<= X<= 3 mid X>2) =P(2<= X<=3)P(X>2) =e^-2lambda-e^-3lambdae^-2lambda =1-e^-lambda
Isso ilustra a propriedade de memória da exponencial.

Passo 5

(d)
P(2<= X<= 3 mid X>1) =P(2<= X<=3)P(X>1) =e^-2lambda-e^-3lambdae^-lambda =e^-lambda-e^-2lambda

Resposta

(a) ;e^-lambda-e^-2lambda
(b) ;e^-2lambda-e^-3lambda
(c) ;1-e^-lambda
(d) ;e^-lambda-e^-2lambda
onde lambda=tfracln22.

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