Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções que satisfazem: (f(1)=1+f(0)).
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções que satisfazem: (f(1)=1+f(0)).
Passo 1
O enunciado define o conjunto
dentro do espaço vetorial
de todas as funções
, com soma e multiplicação por escalar usuais. Para que
seja subespaço vetorial, ele deve, em particular, conter a função zero e ser fechado em soma e em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero
pertence a
. Temos
logo
. Portanto
.
Passo 3
Como o elemento zero não está em
, já falha a condição mínima para subespaço vetorial. Não é preciso testar as demais propriedades de fechamento.
Resposta
O conjunto das funções que satisfazem
não é um espaço vetorial.