Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções que satisfazem: (f(1)=1+f(0)).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = lf:RtoRmid f(1)=1+f(0)r
dentro do espaço vetorial V de todas as funções RtoR, com soma e multiplicação por escalar usuais. Para que W seja subespaço vetorial, ele deve, em particular, conter a função zero e ser fechado em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero 0(x)=0 pertence a W. Temos
0(1)=0 e 1+0(0)=1+0=1,
logo 0(1)neq 1+0(0). Portanto 0notin W.

Passo 3

Como o elemento zero não está em W, já falha a condição mínima para subespaço vetorial. Não é preciso testar as demais propriedades de fechamento.

Resposta

O conjunto das funções que satisfazem f(1)=1+f(0) não é um espaço vetorial.

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