5.4C Encontre a solução geral de cada edo dada a seguir:
y^prime=x y^2-yx

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' = x,y^2-yx,
que podemos reescrever como
dydx = y^2 - 1x,y
O método aqui é reconhecer que se trata de uma equação de Bernoulli na forma
y' + p(x),y = q(x),y^n
com p(x)=tfrac1x, q(x)=1 e n=2. Para resolver usamos a substituição u=y^1-n=y^-1.

Passo 2

Fazendo u = y^-1 obtemos
u = 1y Longrightarrow dudx = -,y^-2,dydx
Como dydx=y^2-1xy, temos
y^-2,dydx = 1 - 1x,y^-1 = 1 - 1x,u
Portanto
dudx = -l(1 - 1x,ur) = -1 + 1x,u,
ou seja
dudx - 1x,u = -1

Passo 3

Agora resolvemos a equação linear em u:
u' - 1xu = -1
O fator integrante é
mu(x) = expgl(integral -1x,dxgr) = e^-ln|x| = 1x
Multiplicando a equação por mu(x) vem
1x,u' - 1x^2,u = -1x Longrightarrow l(uxr)' = -1x
Integrando em x:
ux = -integral 1x,dx + C = -lnlvert xrvert + C,
logo
u = xl(C - lnlvert xrvertr)

Passo 4

Voltando à variável original y, lembre que u = 1/y. Assim
1y = xl(C - lnlvert xrvertr) Longrightarrow y = 1xl(C - lnlvert xrvertr)
Além disso existe a solução trivial yequiv 0, que não aparece na transformação.

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = 1xl(C - lnlvert xrvertr),
com C parâmetro arbitrário, além da solução trivial
boxedy(x)=0

Exercícios relacionados