Exercício 3 : Com o auxilio da Tabela de Integrais Imediatas e o uso das técnicas de integraçăo, calcule as seguintes integrais:
\int e^{x}\left(2 e^{x}+3\right)^{3} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x}\bigl(2e^{x}+3\bigr)^{3}\,dx
usando tabela de integrais imediatas e técnicas de integração. Aqui vamos aplicar substituição para reduzir a integral a uma potência simples, cuja antiderivada já está na tabela: \displaystyle \int u^{n}du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2e^{x}+3.
Derivando em relação a x, temos
du = 2e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int e^{x}\bigl(2e^{x}+3\bigr)^{3}\,dx = \int \bigl(u\bigr)^{3}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora usamos a antiderivada de u^{3}:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}+C.
Logo,
\frac{1}{2}\int u^{3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{4}}{4}+C = \frac{u^{4}}{8}+C.

Passo 5

Voltando à variável x por u=2e^{x}+3, a resposta final é
\frac{\bigl(2e^{x}+3\bigr)^{4}}{8}+C.

Resposta

\frac{\bigl(2e^{x}+3\bigr)^{4}}{8}+C

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