Exercício 3 : Com o auxilio da Tabela de Integrais Imediatas e o uso das técnicas de integraçăo, calcule as seguintes integrais:
\int \cos x \operatorname{sen}^{5} x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos x \,\operatorname{sen}^{5}x \,dx
utilizando a Tabela de Integrais Imediatas e técnicas de integração. Aqui vamos usar a substituição simples, pois vemos \cos x\,dx junto de uma potência de \operatorname{sen} x.

Passo 2

Observamos que a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x. Então, fazemos a mudança de variável
u = \operatorname{sen} x.

Passo 3

Derivando ambos os lados, obtemos
du = \cos x\,dx.
Assim, \cos x\,dx no integrando é exatamente du, e \operatorname{sen}^{5}x torna-se u^5.

Passo 4

A integral transforma-se em
\int u^5\,du.
Pela Tabela de Integrais Imediatas, sabemos que
\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui, n=5, logo
\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C.

Passo 5

Voltando à variável original \operatorname{sen} x, substituímos u = \operatorname{sen} x:
\frac{u^6}{6} + C = \frac{\operatorname{sen}^6 x}{6} + C.

Resposta

\frac{\operatorname{sen}^6 x}{6} + C

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