Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-x-6}{3 x^{2}+5 x-2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -2}\frac{x^{2}-x-6}{3x^{2}+5x-2}.
Informações dadas:
  • A função a estudar é a razão entre dois polinômios: numerador x^{2}-x-6 e denominador 3x^{2}+5x-2.
  • O que se quer é o valor que essa razão se aproxima quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Tentar a substituição direta em limites é sempre o primeiro passo simples. Calcular o numerador e o denominador em x=-2:
\text{Numerador: }(-2)^{2}-(-2)-6 = 4+2-6=0.
\text{Denominador: }3(-2)^{2}+5(-2)-2=3\cdot4-10-2=12-12=0.
Como ambos dão 0, a forma obtida é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso pede uma técnica para eliminar essa indeterminação (fatoração, simplificação algébrica, ou outras).

Passo 3

Explicando a técnica que vamos usar (fatoração): quando um quociente de polinômios dá 0/0 ao substituir, normalmente isso significa que numerador e denominador têm um fator comum correspondente à raiz que produz o zero. Fatorando cada polinômio e cancelando o fator comum, obtemos uma expressão equivalente para x\neq -2 que permite avaliar o limite.
Começo fatorando o numerador x^{2}-x-6. Procuro dois números que multipliquem para -6 e que somem para -1. Esses números são -3 e 2? Não (somam -1 e multiplicam -6 — atenção: testar corretamente). Na verdade, os números que funcionam são 3 e -2 porque 3\cdot(-2)=-6 e 3+(-2)=1. Como precisamos de soma -1, invertendo sinais obtemos -3 e 2 que somam -1 e multiplicam -6. Assim:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
(Verificação rápida: (x-3)(x+2)=x^{2}+2x-3x-6=x^{2}-x-6.)

Passo 4

Agora fatorar o denominador 3x^{2}+5x-2. Vou usar a técnica de decomposição do termo do meio (ou agrupamento). Multiplico a\cdot c = 3\cdot(-2)=-6. Procuro dois números que multiplicam para -6 e somam 5: esses são 6 e -1. Então escrevo
3x^{2}+5x-2 = 3x^{2}+6x - x - 2.
Agrupando:
3x^{2}+6x - x - 2 = 3x(x+2) -1(x+2) = (x+2)(3x-1).
(Verificação: (x+2)(3x-1)=3x^{2}-x+6x-2=3x^{2}+5x-2.)

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão do limite:
\frac{x^{2}-x-6}{3x^{2}+5x-2}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x+2)(3x-1)}.
Para x\neq -2 podemos cancelar o fator comum (x+2), obtendo a expressão simplificada
\frac{x-3}{3x-1}\qquad (x\neq -2).
Justificativa do passo: o limite \lim_{x\to -2} só usa valores de x próximos de -2 (mas não exatamente -2), portanto é legítimo simplificar a expressão para avaliar o limite.

Passo 6

A expressão simplificada \dfrac{x-3}{3x-1} é um quociente de polinômios cujo denominador em x=-2 é diferente de zero ( 3(-2)-1=-7\neq 0), logo ela é contínua em x=-2. Para limites de funções contínuas basta substituir o ponto. Então:
\lim_{x\to -2}\frac{x-3}{3x-1}=\frac{-2-3}{3(-2)-1}=\frac{-5}{-7}=\frac{5}{7}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (como fazer na prova):
  • Tentar substituir x no limite. Se obtiver \dfrac{0}{0}, procurar fator comum.
  • Fatorar numerador e denominador, cancelar o fator (x-x_0) correspondente à raiz.
  • Avaliar o limite da expressão simplificada por continuidade.
    Exemplo extra: \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2. Isso ilustra o mesmo procedimento.

Resposta

\dfrac{5}{7}

Exercícios relacionados