Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função a estudar é a razão entre dois polinômios: numerador
e denominador . - O que se quer é o valor que essa razão se aproxima quando
se aproxima de .
Passo 2
Tentar a substituição direta em limites é sempre o primeiro passo simples. Calcular o numerador e o denominador em
:
Como ambos dão
, a forma obtida é
, que é uma indeterminação. Isso pede uma técnica para eliminar essa indeterminação (fatoração, simplificação algébrica, ou outras).
Passo 3
Explicando a técnica que vamos usar (fatoração): quando um quociente de polinômios dá
ao substituir, normalmente isso significa que numerador e denominador têm um fator comum correspondente à raiz que produz o zero. Fatorando cada polinômio e cancelando o fator comum, obtemos uma expressão equivalente para
que permite avaliar o limite.
Começo fatorando o numerador
. Procuro dois números que multipliquem para
e que somem para
. Esses números são
e
? Não (somam
e multiplicam
— atenção: testar corretamente). Na verdade, os números que funcionam são
e
porque
e
. Como precisamos de soma
, invertendo sinais obtemos
e
que somam
e multiplicam
. Assim:
(Verificação rápida:
.)
Passo 4
Agora fatorar o denominador
. Vou usar a técnica de decomposição do termo do meio (ou agrupamento). Multiplico
. Procuro dois números que multiplicam para
e somam
: esses são
e
. Então escrevo
Agrupando:
(Verificação:
.)
Passo 5
Substituindo as fatorações na expressão do limite:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão simplificada
Justificativa do passo: o limite
só usa valores de
próximos de
(mas não exatamente
), portanto é legítimo simplificar a expressão para avaliar o limite.
Passo 6
A expressão simplificada
é um quociente de polinômios cujo denominador em
é diferente de zero (
), logo ela é contínua em
. Para limites de funções contínuas basta substituir o ponto. Então:
Passo 7
Resumo rápido do raciocínio (como fazer na prova):
- Tentar substituir
no limite. Se obtiver , procurar fator comum. - Fatorar numerador e denominador, cancelar o fator
correspondente à raiz. - Avaliar o limite da expressão simplificada por continuidade.
Exemplo extra:Isso ilustra o mesmo procedimento.