Exercício 9: Para cada um dos seguintes sistemas de equações, encontre as matrizes associadas A, \mathrm{x} e \mathbf{b}, ache a inversa de A, e use-a para resolver o sistema.
\left\{\begin{aligned} x_{1} & =\sqrt{\pi} \\\\ -5 x_{1}+x_{2} & =2 \\\\ 20 x_{1}-4 x_{2}+x_{3} & =4 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x_{1} = \sqrt{\pi},\\\\ -5x_{1} + x_{2} = 2,\\\\ 20x_{1} - 4x_{2} + x_{3} = 4. \end{cases}
O conteúdo é sistemas lineares e inversão de matriz. Vamos identificar as matrizes A, \mathbf{x} e \mathbf{b}, em seguida calcular A^{-1} (aproveitando que A é triangular inferior com diagonal unitária) e usar \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.

Passo 2

As matrizes associadas são
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -5 & 1 & 0\\\\ 20 & -4 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}\sqrt{\pi}\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é unitariamente triangular inferior, podemos escrevê-la como A=I+L onde
L=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -5 & 0 & 0\\\\ 20 & -4 & 0 \end{pmatrix}.
A inversa de A é
A^{-1} = I - L + L^2.
Calculando L^2 (só a posição (3,1) fica não nula: (-4)\cdot(-5)=20) e formando I-L+L^2, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 5 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora resolvemos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Fazendo o produto,
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 5 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sqrt{\pi}\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{\pi}\\\\ 5\sqrt{\pi}+2\\\\ 8+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{\pi}\\\\ 5\sqrt{\pi}+2\\\\ 12 \end{pmatrix}.

Resposta

x_{1} = \sqrt{\pi},\quad x_{2} = 5\sqrt{\pi}+2,\quad x_{3} = 12.

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