Exercício 9: Para cada um dos seguintes sistemas de equações, encontre as matrizes associadas A, \mathrm{x} e \mathbf{b}, ache a inversa de A, e use-a para resolver o sistema.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2} & =4 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =2 \\\\ -x_{2}+2 x_{3} & =4 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a resolução de um sistema linear 3\times 3 usando inversão de matrizes. O conteúdo é Álgebra Linear: montar a forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}, calcular a inversa \,A^{-1} via adjunta (matriz de cofatores transposta) e usar \,\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Precisamos da definição de determinante de matriz 3\times3, de matriz de cofatores e da fórmula A^{-1}=(1/\det A)\,\mathrm{adj}(A).

Passo 2

Escrevemos as matrizes associadas ao sistema
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por desenvolvimento na primeira linha (ou regra de Sarrus):
\det(A) =2\,(2\cdot2-(-1)\cdot(-1)) -(-1)\,((-1)\cdot2 -(-1)\cdot0) =2\,(4-1)+1\,( -2-0) =2\cdot3-2 =4.

Passo 4

Construímos a matriz de cofatores C e, em seguida, sua transposta (adjunta):
\mathrm{adj}(A) = C^{T} =\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 2 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Logo,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) =\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 2 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Aplicamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Calculando componente a componente:
x_{1}=\frac{1}{4}(3\cdot4+2\cdot2+1\cdot4)=\frac{20}{4}=5,
x_{2}=\frac{1}{4}(2\cdot4+4\cdot2+2\cdot4)=\frac{24}{4}=6,
x_{3}=\frac{1}{4}(1\cdot4+2\cdot2+3\cdot4)=\frac{20}{4}=5.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}=(5,6,5)^{T}.

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