Exercício 7. Calcule o (cosseno do) ângulo entre os vetores V=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right) e W=\left(\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 e pede o cosseno do ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
V=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad W=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A pergunta é: calcule \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre V e W.]

Passo 2

Vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar, normas e o cosseno do ângulo entre vetores. A fórmula é
\cos\theta=\frac{V\cdot W}{\|V\|\,\|W\|}.
Explicando cada símbolo:
  • V\cdot W é o produto escalar (ou “dot product”) entre V e W.
  • \|V\| é a norma (comprimento) do vetor V.
  • \|W\| é a norma do vetor W.
  • \theta é o ângulo entre V e W.
    Agora vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Calculando o produto escalar V\cdot W. A definição do produto escalar em componentes é
V\cdot W = V_1W_1 + V_2W_2 + V_3W_3,
onde V_i e W_i são as componentes dos vetores. Aplicando aos dados:
V\cdot W = (-1)\cdot 3 + 2\cdot 3 + 2\cdot 0.
Fazendo as contas, temos
V\cdot W = -3 + 6 + 0 = 3.

Passo 4

Calculando a norma de V. A norma é dada por
\|V\| = \sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2}.
Substituindo:
\|V\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Passo 5

Calculando a norma de W. Usando a mesma fórmula:
\|W\| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18}.
Podemos simplificar \sqrt{18} como
\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}.
Logo \|W\| = 3\sqrt{2}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do cosseno com os valores encontrados:
\cos\theta = \frac{V\cdot W}{\|V\|\,\|W\|} = \frac{3}{3\cdot 3\sqrt{2}}.
No denominador 3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}, então
\cos\theta = \frac{3}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}.

Passo 7

Podemos racionalizar o denominador (opcional, mas comum) multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{1}{3\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{6}.
Ambas as formas são equivalentes; a forma com denominador racionalizado é \dfrac{\sqrt{2}}{6}.

Resposta

\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{6}

Exercícios relacionados