Exercício 7. Calcule o (cosseno do) ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
e pede o cosseno do ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
A pergunta é: calcule
, onde
é o ângulo entre
e
.]
Passo 2
Vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar, normas e o cosseno do ângulo entre vetores. A fórmula é
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (ou “dot product”) entre e . -
é a norma (comprimento) do vetor . -
é a norma do vetor . -
é o ângulo entre e .
Agora vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 3
Calculando o produto escalar
. A definição do produto escalar em componentes é
onde
e
são as componentes dos vetores. Aplicando aos dados:
Fazendo as contas, temos
Passo 4
Calculando a norma de
. A norma é dada por
Substituindo:
Passo 5
Calculando a norma de
. Usando a mesma fórmula:
Podemos simplificar
como
Logo
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do cosseno com os valores encontrados:
No denominador
, então
Passo 7
Podemos racionalizar o denominador (opcional, mas comum) multiplicando numerador e denominador por
:
Ambas as formas são equivalentes; a forma com denominador racionalizado é
.