Exercício 4. Calcule:
(d) \frac{i}{\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{6}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a fração
\frac{i}{\bigl(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}\,i\bigr)^{6}}
Isso envolve números complexos, conversão para a forma polar/exponencial e uso da fórmula de De Moivre.

Passo 2

Seja
z = -\tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2}\,i.
Calculamos o módulo e o argumento de z:
|z| = \sqrt{\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34} = 1,
e o argumento principal é
\arg(z) = -\tfrac{2\pi}{3},
pois \cos(-2\pi/3) = -\tfrac12 e \sin(-2\pi/3) = -\tfrac{\sqrt3}{2}. Logo
z = e^{-i\,2\pi/3}.

Passo 3

Usando De Moivre para elevar z à sexta potência:
z^6 = \bigl(e^{-i\,2\pi/3}\bigr)^{6} = e^{-i\,2\pi/3 \cdot 6} = e^{-i\,4\pi} = 1.

Passo 4

Substituindo z^6 = 1 na fração original, obtemos
\frac{i}{z^6} = \frac{i}{1} = i.

Resposta

i

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