Exercício 4. Calcule:
(c) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\right)^{100}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\Bigr)^{100}.
O conteúdo aqui é potência de número complexo usando a fórmula de De Moivre; vamos primeiro escrever o número em forma polar/exponencial.

Passo 2

Chamando
z = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,
note que \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2}.
Como z=\cos(\pi/6)-i\sin(\pi/6), temos
z = e^{-i\pi/6}.

Passo 3

Aplicando a potência,
z^{100} = \bigl(e^{-i\pi/6}\bigr)^{100} = e^{-100\,i\pi/6} = e^{-50\,i\pi/3}.

Passo 4

Para simplificar o ângulo, note que
- \frac{50\pi}{3} = -16\pi \;-\;\frac{2\pi}{3},
e e^{-i\,16\pi}=1. Logo,
z^{100} = e^{-i\,2\pi/3}.

Passo 5

Voltando à forma algébrica com De Moivre,
e^{-i\,2\pi/3} = \cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) - i\sin\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i.

Resposta

-\frac{1}{2} \;-\;\frac{\sqrt{3}}{2}\,i

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