Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{2 \cos x}{x^{2} e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{2\cos x}{x^{2} e^{x}}.
Informações dadas: a função está definida para x\neq 0 (porque há x^{2} no denominador) e envolve funções trigonométrica \cos x, potência x^{2} e exponencial e^{x}. A tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Primeiro vou reescrever a função de forma que seja mais simples aplicar as regras de derivação. Uso a propriedade de potências e exponenciais:
\frac{1}{x^{2}e^{x}}=x^{-2}e^{-x}.
Portanto
f(x)=2\cos x\cdot x^{-2}e^{-x}.
É útil tirar a constante 2 para fora na hora de derivar.

Passo 3

Vou usar a regra do produto. Lembre que, para duas funções u(x) e v(x),
(u\cdot v)'=u'v+uv'.
Aqui vou considerar u(x)=\cos x e v(x)=x^{-2}e^{-x}. Assim
f'(x)=2\big(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\big).

Passo 4

Calculo u'(x). A derivada de \cos x é
u'(x)=(\cos x)'=-\sin x.
Explico rapidinho: a derivada da função trigonométrica \cos é -\sin, que é uma regra padrão.

Passo 5

Agora preciso de v'(x), onde v(x)=x^{-2}e^{-x}. Trata-se de produto de duas funções a(x)=x^{-2} e b(x)=e^{-x}. Uso a regra do produto novamente:
v'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
Calculo a'(x) e b'(x) separadamente.
  • Para a(x)=x^{-2}, uso a regra da potência: se x^{n} então (x^{n})'=n x^{n-1}. Assim
a'(x)=(x^{-2})'=-2x^{-3}.
  • Para b(x)=e^{-x}, uso a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é g'(x)e^{g(x)}. Aqui g(x)=-x e g'(x)=-1. Logo
b'(x)=(e^{-x})'=-e^{-x}.
Agora substituo:
v'(x)=(-2x^{-3})e^{-x}+x^{-2}(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} e simplificando:
v'(x)=e^{-x}\big(-2x^{-3}-x^{-2}\big).
Posso também fatorar x^{-3}:
v'(x)=-e^{-x}x^{-3}(2+x).

Passo 6

Volto para f'(x)=2\big(u'v+uv'\big). Substituindo u',u,v,v':
f'(x)=2\Big((- \sin x)\cdot x^{-2}e^{-x}+\cos x\cdot\big(-e^{-x}x^{-3}(2+x)\big)\Big).
Coloco os termos juntos:
f'(x)=2\Big(-e^{-x}x^{-2}\sin x - e^{-x}x^{-3}(2+x)\cos x\Big).
Fatoro -2e^{-x}x^{-3} (pois x^{-2}=x^{-3}\cdot x):
f'(x)=-2e^{-x}x^{-3}\big(x\sin x+(2+x)\cos x\big).
Por fim, escrevo de volta com denominador mais familiar x^{3}e^{x}, lembrando que e^{-x}x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}e^{x}}:
f'(x)=-\frac{2\big(x\sin x+(x+2)\cos x\big)}{x^{3}e^{x}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2\big(x\sin x+(x+2)\cos x\big)}{x^{3}e^{x}}.

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