Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=6 e^{x^{3}-2 x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=6 e^{x^{3}-2 x^{2}-1}.
Informações fornecidas:
  • A função é um produto de uma constante \,6 por uma exponencial de base e.
  • O expoente é o polinômio \,x^{3}-2x^{2}-1.
  • Objetivo: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Regra da constante multiplicativa: se g(x) é derivável e c é constante, então \big(c\,g(x)\big)'=c\,g'(x). Isso significa que podemos “puxar” a constante para fora da derivada.
  • Regra da cadeia para exponenciais: se u(x) é uma função diferenciável, então a derivada de \,e^{u(x)} é
\big(e^{u(x)}\big)' = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x). Intuição: a exponencial repete a forma dela mesma ao derivar, e multiplica pela taxa de variação da parte interna.
  • Regra do expoente (regra de potência): para um monômio x^{n} com n inteiro, \big(x^{n}\big)'=n x^{n-1}. Exemplo simples: \big(x^{3}\big)'=3x^{2}.
Um exemplo rápido para fixar: \big(e^{2x}\big)' = e^{2x}\cdot 2 = 2 e^{2x}.

Passo 3

Identificamos a função interna (o expoente) e calculamos sua derivada:
u(x)=x^{3}-2x^{2}-1.
Aplicando a regra de potência termo a termo:
u'(x)=\big(x^{3}\big)'-2\big(x^{2}\big)'-\big(1\big)' = 3x^{2}-2\cdot 2x - 0.
Portanto,
u'(x)=3x^{2}-4x.

Passo 4

Agora aplicamos as duas regras juntas: a constante multiplicativa e a regra da cadeia para a exponencial.
Começamos escrevendo
f(x)=6\cdot e^{u(x)},
logo
f'(x)=6\cdot \big(e^{u(x)}\big)'.
Usando a regra da cadeia para \big(e^{u(x)}\big)' obtemos
f'(x)=6\cdot e^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 5

Substituímos u(x) e u'(x) pelas expressões encontradas:
f'(x)=6\cdot e^{x^{3}-2x^{2}-1}\cdot (3x^{2}-4x).

Passo 6

Podemos simplificar fatorando x do polinômio 3x^{2}-4x:
3x^{2}-4x = x(3x-4).
Assim uma forma mais factorizada da derivada é
f'(x)=6x(3x-4)\,e^{x^{3}-2x^{2}-1}.
Opcionalmente, expandindo os fatores numéricos, temos também
f'(x)=(18x^{2}-24x)\,e^{x^{3}-2x^{2}-1},
mas a forma fatorada costuma ser mais limpa para análise.

Resposta

f'(x)=6x(3x-4)\,e^{x^{3}-2x^{2}-1}

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