Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações fornecidas:
- A função é um produto de uma constante
por uma exponencial de base . - O expoente é o polinômio
. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):
- Regra da constante multiplicativa: se
é derivável e é constante, então . Isso significa que podemos “puxar” a constante para fora da derivada. - Regra da cadeia para exponenciais: se
é uma função diferenciável, então a derivada de é
Aqui
é a derivada da função interna
. Intuição: a exponencial repete a forma dela mesma ao derivar, e multiplica pela taxa de variação da parte interna.
- Regra do expoente (regra de potência): para um monômio
com inteiro, . Exemplo simples: .
Um exemplo rápido para fixar:
.
Passo 3
Identificamos a função interna (o expoente) e calculamos sua derivada:
Aplicando a regra de potência termo a termo:
Portanto,
Passo 4
Agora aplicamos as duas regras juntas: a constante multiplicativa e a regra da cadeia para a exponencial.
Começamos escrevendo
Começamos escrevendo
logo
Usando a regra da cadeia para
obtemos
Passo 5
Substituímos
e
pelas expressões encontradas:
Passo 6
Podemos simplificar fatorando
do polinômio
:
Assim uma forma mais factorizada da derivada é
Opcionalmente, expandindo os fatores numéricos, temos também
mas a forma fatorada costuma ser mais limpa para análise.