Exercício 3.1 Calcule as derivadas parciais em relação a
e em relação a
, por definição, nos seguintes casos:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e em relação a
, usando a definição (isto é, pelo limite). A função dada é
Informações relevantes:
- A função explícita
foi fornecida. - Deve-se calcular
- a derivada parcial em relação a
: por definição; - a derivada parcial em relação a
: por definição.
Nada mais foi pedido.
- a derivada parcial em relação a
Passo 2
Definição formal da derivada parcial em relação a
:
Explicando: aqui
é um incremento pequeno aplicado apenas à coordenada
; a variável
fica fixa (constante) durante o limite. O numerador mede quanto
muda quando só
muda em
; ao dividir por
temos a taxa de variação por unidade de
; ao tirar o limite
obtemos a derivada parcial.
Passo 3
Calcular
. Substituir
por
na expressão de
:
Expandindo os termos:
Somando:
Passo 4
Formar o quociente incremental e simplificar:
No numerador os termos
e
se cancelam, sobrando:
Fatorando
do numerador:
Passo 5
Aplicar o limite
para obter a derivada parcial em relação a
:
pois o termo
tende a zero quando
.
Passo 6
Definição formal da derivada parcial em relação a
:
Aqui
é um incremento pequeno aplicado apenas à coordenada
; a variável
fica fixa durante o limite.
Passo 7
Calcular
. Substituir
por
em
:
Expandindo:
Somando:
Passo 8
Formar o quociente incremental e simplificar:
Cancelam
e
, ficando:
Fatorando
:
Passo 9
Aplicar o limite
para obter a derivada parcial em relação a
:
porque
quando
.
Passo 10
Verificação rápida (intuição útil para a prova): ao derivar parcialmente em relação a
pode-se também pensar “trate
como constante” e aplicar regras usuais de derivada em uma variável:
- derivada de
em relação a é , - derivada de
em relação a é .
Somando:— coincide com o resultado pelo limite.
Analogamente para: trate como constante e derive → , derive → ; soma .