Exercício 3.1 Calcule as derivadas parciais em relação a x e em relação a y, por definição, nos seguintes casos:
f(x, y)=x^{2} y+2 x y^{2},

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y, usando a definição (isto é, pelo limite). A função dada é
f(x,y)=x^{2}y+2xy^{2}.
Informações relevantes:
  • A função explícita \,f(x,y)=x^{2}y+2xy^{2}\, foi fornecida.
  • Deve-se calcular
    • a derivada parcial em relação a x: \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) por definição;
    • a derivada parcial em relação a y: \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) por definição.
      Nada mais foi pedido.

Passo 2

Definição formal da derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Explicando: aqui h é um incremento pequeno aplicado apenas à coordenada x; a variável y fica fixa (constante) durante o limite. O numerador mede quanto f muda quando só x muda em h; ao dividir por h temos a taxa de variação por unidade de x; ao tirar o limite h\to0 obtemos a derivada parcial.

Passo 3

Calcular f(x+h,y). Substituir x por x+h na expressão de f:
f(x+h,y)=(x+h)^{2}y+2(x+h)y^{2}.
Expandindo os termos:
(x+h)^{2}y=(x^{2}+2xh+h^{2})y=x^{2}y+2xhy+h^{2}y,
2(x+h)y^{2}=2xy^{2}+2hy^{2}.
Somando:
f(x+h,y)=x^{2}y+2xhy+h^{2}y+2xy^{2}+2hy^{2}.

Passo 4

Formar o quociente incremental e simplificar:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{\bigl(x^{2}y+2xhy+h^{2}y+2xy^{2}+2hy^{2}\bigr)-\bigl(x^{2}y+2xy^{2}\bigr)}{h}.
No numerador os termos x^{2}y e 2xy^{2} se cancelam, sobrando:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{2xhy+h^{2}y+2hy^{2}}{h}.
Fatorando h do numerador:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{h\bigl(2xy+hy+2y^{2}\bigr)}{h}=2xy+hy+2y^{2}.

Passo 5

Aplicar o limite h\to0 para obter a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\bigl(2xy+hy+2y^{2}\bigr)=2xy+2y^{2},
pois o termo hy tende a zero quando h\to0.

Passo 6

Definição formal da derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}.
Aqui k é um incremento pequeno aplicado apenas à coordenada y; a variável x fica fixa durante o limite.

Passo 7

Calcular f(x,y+k). Substituir y por y+k em f:
f(x,y+k)=x^{2}(y+k)+2x(y+k)^{2}.
Expandindo:
x^{2}(y+k)=x^{2}y+x^{2}k,
2x(y+k)^{2}=2x(y^{2}+2yk+k^{2})=2xy^{2}+4xyk+2xk^{2}.
Somando:
f(x,y+k)=x^{2}y+x^{2}k+2xy^{2}+4xyk+2xk^{2}.

Passo 8

Formar o quociente incremental e simplificar:
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=\frac{\bigl(x^{2}y+x^{2}k+2xy^{2}+4xyk+2xk^{2}\bigr)-\bigl(x^{2}y+2xy^{2}\bigr)}{k}.
Cancelam x^{2}y e 2xy^{2}, ficando:
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=\frac{x^{2}k+4xyk+2xk^{2}}{k}.
Fatorando k:
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=x^{2}+4xy+2xk.

Passo 9

Aplicar o limite k\to0 para obter a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to0}\bigl(x^{2}+4xy+2xk\bigr)=x^{2}+4xy,
porque 2xk\to0 quando k\to0.

Passo 10

Verificação rápida (intuição útil para a prova): ao derivar parcialmente em relação a x pode-se também pensar “trate y como constante” e aplicar regras usuais de derivada em uma variável:
  • derivada de x^{2}y em relação a x é 2x\cdot y,
  • derivada de 2xy^{2} em relação a x é 2y^{2}.
    Somando: 2xy+2y^{2} — coincide com o resultado pelo limite.
    Analogamente para y: trate x como constante e derive x^{2}y x^{2}, derive 2xy^{2} 4xy; soma x^{2}+4xy.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+2y^{2}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+4xy

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