Exercício 2.13 Calcule os seguintes limites:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y-y-2 x+2}{x-1};

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando as duas variáveis tendem para zero simultaneamente:
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} \frac{x y - y - 2x + 2}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função em questão é a razão entre o polinômio x y - y - 2x + 2 e o polinômio x-1.
  • As duas variáveis tendem para (x,y)=(0,0).
    A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Observação sobre existência de limite por substituição direta (continuidade local).
  • O numerador N(x,y)=x y - y - 2x + 2 é um polinômio em x e y, portanto é contínuo em todo \mathbb{R}^2.
  • O denominador D(x,y)=x-1 é contínuo em todo \mathbb{R}^2 também.
  • Para poder simplesmente substituir (x,y)=(0,0) na razão e afirmar que o limite vale esse valor, é necessário que D(0,0)\neq 0. Vamos checar:
D(0,0)=0-1=-1\neq 0.
Como o denominador não é zero no ponto de interesse e numerador e denominador são contínuos, a razão é contínua numa vizinhança de (0,0). Pelo teorema clássico sobre limites de funções contínuas:
\text{se }N\text{ e }D\text{ são contínuas em }(0,0)\text{ e }D(0,0)\neq 0,\text{ então } \[ \[ \lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} \frac{N(x,y)}{D(x,y)} = \frac{N(0,0)}{D(0,0)}.
]]

Passo 3

Calcular N(0,0) e D(0,0) explicitamente:
  • Para o numerador,
N(0,0)= (0)(0) - 0 - 2\cdot 0 + 2 = 2.
  • Já para o denominador,
D(0,0)=0-1=-1.

Passo 4

Aplicar a substituição dada pela continuidade:
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} \frac{x y - y - 2x + 2}{x-1} = \frac{N(0,0)}{D(0,0)} = \frac{2}{-1} = -2.
Uma checagem intuitiva: qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) dará, pelo mesmo raciocínio, valores da razão que tendem a -2, confirmando que o limite é bem definido.

Resposta

-2

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