Exercício 2.13 Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando as duas variáveis tendem para zero simultaneamente:
Informações dadas:
- A função em questão é a razão entre o polinômio
e o polinômio . - As duas variáveis tendem para
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Observação sobre existência de limite por substituição direta (continuidade local).
- O numerador
é um polinômio em e , portanto é contínuo em todo . - O denominador
é contínuo em todo também. - Para poder simplesmente substituir
na razão e afirmar que o limite vale esse valor, é necessário que . Vamos checar:
Como o denominador não é zero no ponto de interesse e numerador e denominador são contínuos, a razão é contínua numa vizinhança de
. Pelo teorema clássico sobre limites de funções contínuas:
]]
Passo 3
Calcular
e
explicitamente:
- Para o numerador,
- Já para o denominador,
Passo 4
Aplicar a substituição dada pela continuidade:
Uma checagem intuitiva: qualquer sequência
dará, pelo mesmo raciocínio, valores da razão que tendem a
, confirmando que o limite é bem definido.