Exercício 4. Calcule:
(a) (2-2 i)^{333}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (2-2i)^{333}. Aqui o conteúdo é números complexos e vamos usar a forma trigonométrica (ou forma “cis”) e a fórmula de De Moivre para potências.

Passo 2

Primeiro, convertemos 2-2i para a forma trigonométrica r(\cos\theta + i\sin\theta).
O módulo é
r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2},
e o argumento é
\theta = \arg(2-2i) = \arctan\!\bigl(\tfrac{-2}{2}\bigr) = -\frac{\pi}{4}.
Logo,
2-2i = 2\sqrt{2}\,\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre,
\bigl(r(\cos\theta + i\sin\theta)\bigr)^{333} = r^{333}\,\bigl(\cos(333\,\theta) + i\sin(333\,\theta)\bigr).
Aqui r=2\sqrt2 e \theta=-\pi/4.

Passo 4

Calculemos r^{333} e 333\,\theta:
r^{333} = \bigl(2\sqrt2\bigr)^{333} = \bigl(2^{3/2}\bigr)^{333} = 2^{\frac{3}{2}\cdot333} = 2^{\frac{999}{2}}.
333\,\theta = 333\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) = -\frac{333\pi}{4}.
Reduzindo módulo 2\pi (ou seja, somando 336\pi/4), obtemos
-\frac{333\pi}{4} + \frac{336\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
Portanto
(2-2i)^{333} = 2^{\frac{999}{2}} \Bigl(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr).

Passo 5

Sabemos que \cos\frac{3\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2} e \sin\frac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}. Assim,
(2-2i)^{333} = 2^{\frac{999}{2}} \Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2} + i\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) = 2^{\frac{999}{2}}\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\,(-1 + i).
Agora
2^{\frac{999}{2}}\cdot\tfrac{\sqrt2}{2} = 2^{\frac{999}{2}}\cdot\frac{2^{1/2}}{2} = 2^{\frac{999+1}{2}-1} = 2^{\frac{1000}{2}-1} = 2^{500-1} = 2^{499}.

Resposta

(2-2i)^{333} = 2^{499}\,(-1 + i).

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