A curva \gamma é o círculo |z|=2. Vou assumir a orientação padrão (positiva, isto é, sentido anti-horário).
Informação útil observada: f é uma função racional com possível singularidade quando o denominador se anula, ou seja em z=3. Note que |3|=3>2, portanto esse ponto singular está fora do disco fechado \{z:|z|\le2\} determinado por \gamma.
Passo 2
Entendendo por que podemos aplicar um teorema que zera a integral (explicação da ideia):
Conceito importante: dizemos que uma função g(z) é holomorfa (ou analítica) em um conjunto quando ela é complexamente diferenciável em todo ponto desse conjunto. Uma consequência prática: razões de polinômios são holomorfas onde o denominador não é zero.
Teorema que vamos usar (enunciado sem demonstração completa): se g é holomorfa numa região aberta que contém a curva fechada \gamma e o interior de \gamma, então
\int_{\gamma} g(z)\,dz = 0.
(Isto é a versão do Teorema de Cauchy para contornos fechados.)
Aplicação ao nosso caso: f(z)=\dfrac{z+1}{z-3} é holomorfa em qualquer conjunto que não contenha z=3, porque o único problema é o ponto onde z-3=0. Como o singularidade z=3 satisfaz |3|=3>2, concluímos que f é holomorfa em um aberto que contém a curva \gamma e seu interior (por exemplo o disco \{z:|z|<3\} serve). Logo todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas e a integral é zero:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = 0.
Passo 3
(Mais didático — alternativa por séries para ver “ao pé da letra” como os termos somam zero)
Podemos também expandir \dfrac{1}{z-3} como uma série geométrica válida para |z|<3. Escreve-se
Integrando termo a termo (justificável pela convergência uniforme na compacta \{ |z|\le2\}), cada termo é proporcional a \displaystyle \int_{\gamma} z^k\,dz com k\ge0. Mas para qualquer inteiro k\ge0,
\int_{\gamma} z^k\,dz = 0,
pois ao parametrizar \gamma por z(t)=2e^{it}, t\in[0,2\pi], obtemos
Portanto a soma das integrais dos termos é zero, confirmando novamente que \displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz=0.
Passo 4
Resumo final e incentivo rápido:
Concluímos pelas duas vias (Cauchy ou expansão em série) que a integral sobre o círculo |z|=2 de f(z)=\dfrac{z+1}{z-3} é zero.
Boa notícia: nessa prova, ao ver uma função racional e um contorno, sempre cheque onde estão os polos em relação ao contorno — se não houver polos dentro, integral fechada costuma ser zero. Mantém a calma que você já dá conta!