Exercício 3 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=\frac{z+1}{z-3} e \gamma é o círculo |z|=2.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se calcular \displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz.
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{z+1}{z-3}.
  • A curva \gamma é o círculo |z|=2. Vou assumir a orientação padrão (positiva, isto é, sentido anti-horário).
  • Informação útil observada: f é uma função racional com possível singularidade quando o denominador se anula, ou seja em z=3. Note que |3|=3>2, portanto esse ponto singular está fora do disco fechado \{z:|z|\le2\} determinado por \gamma.

Passo 2

Entendendo por que podemos aplicar um teorema que zera a integral (explicação da ideia):
  • Conceito importante: dizemos que uma função g(z) é holomorfa (ou analítica) em um conjunto quando ela é complexamente diferenciável em todo ponto desse conjunto. Uma consequência prática: razões de polinômios são holomorfas onde o denominador não é zero.
  • Teorema que vamos usar (enunciado sem demonstração completa): se g é holomorfa numa região aberta que contém a curva fechada \gamma e o interior de \gamma, então
\int_{\gamma} g(z)\,dz = 0.
(Isto é a versão do Teorema de Cauchy para contornos fechados.)
  • Aplicação ao nosso caso: f(z)=\dfrac{z+1}{z-3} é holomorfa em qualquer conjunto que não contenha z=3, porque o único problema é o ponto onde z-3=0. Como o singularidade z=3 satisfaz |3|=3>2, concluímos que f é holomorfa em um aberto que contém a curva \gamma e seu interior (por exemplo o disco \{z:|z|<3\} serve). Logo todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas e a integral é zero:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = 0.

Passo 3

(Mais didático — alternativa por séries para ver “ao pé da letra” como os termos somam zero)
  • Podemos também expandir \dfrac{1}{z-3} como uma série geométrica válida para |z|<3. Escreve-se
\frac{1}{z-3} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{z}{3}} = -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{3}\right)^n,
pois \left|\dfrac{z}{3}\right|<1 quando |z|<3. Multiplicando por z+1 obtemos a expansão em potências de z válida no disco |z|<3:
f(z)=\frac{z+1}{z-3} = -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z^{n+1}}{3^{n}}+\frac{z^{n}}{3^{n}}\right).
  • Integrando termo a termo (justificável pela convergência uniforme na compacta \{ |z|\le2\}), cada termo é proporcional a \displaystyle \int_{\gamma} z^k\,dz com k\ge0. Mas para qualquer inteiro k\ge0,
\int_{\gamma} z^k\,dz = 0,
pois ao parametrizar \gamma por z(t)=2e^{it}, t\in[0,2\pi], obtemos
\int_{0}^{2\pi} (2e^{it})^k \, i2e^{it}\,dt = i2^{k+1}\int_{0}^{2\pi} e^{i(k+1)t}\,dt = i2^{k+1}\left[\frac{e^{i(k+1)t}}{i(k+1)}\right]_0^{2\pi}=0.
  • Portanto a soma das integrais dos termos é zero, confirmando novamente que \displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz=0.

Passo 4

Resumo final e incentivo rápido:
  • Concluímos pelas duas vias (Cauchy ou expansão em série) que a integral sobre o círculo |z|=2 de f(z)=\dfrac{z+1}{z-3} é zero.
  • Boa notícia: nessa prova, ao ver uma função racional e um contorno, sempre cheque onde estão os polos em relação ao contorno — se não houver polos dentro, integral fechada costuma ser zero. Mantém a calma que você já dá conta!

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