Seja u(x, t) a função que fornece a temperatura em uma barra metálica de comprimento l=l 0, que possui as extremidades termicamente isoladas e encontra-se inicialmente com a temperatura dada por f(x)=x(10-x).
a) Escreva o problema de valor inicial e de contorno que representa o problema descrito acima.
b) Qual é a fórmula da solução do problema?
c) Encontre a distribuição “final” de temperatura na barra. Isto é, a distribuição de temperatura para t \rightarrow+\infty.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) escrever o problema de valor inicial e de contorno que modela a temperatura u(x,t) na barra;
  • (b) dar a fórmula da solução u(x,t) desse problema;
  • (c) encontrar a distribuição de temperatura final, isto é, u(x,t) quando t\to+\infty.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A barra tem comprimento l=l_0 e as extremidades são termicamente isoladas (isso significa condições de Neumann: derivada espacial nula nas extremidades).
  • A condição inicial é f(x)=x(10-x).
  • O enunciado fornece f(x) com a constante 10; por isso vou assumir que o comprimento da barra é l=l_0=10 (domínio 0\le x\le10). Se o enunciado quisesse outro l_0 teria dado outro formato de f; tomar l=10 é a escolha consistente com f(x).
  • Não foi dada a difusividade térmica numérica; denotarei por \kappa>0 a difusividade térmica (constante física).

Passo 2

Escrever o problema PDE-CC-IC (modelo físico e matemático).
  • Equação do calor unidimensional homogênea (modelo padrão para barra homogênea):
u_t(x,t)=\kappa\,u_{xx}(x,t),\qquad 0<x<10,\;t>0,
onde \kappa>0 é a difusividade térmica.
  • Condições de contorno (extremidades termicamente isoladas — derivada espacial nula):
u_x(0,t)=0,\qquad u_x(10,t)=0,\qquad t>0.
  • Condição inicial:
u(x,0)=f(x)=x(10-x),\qquad 0\le x\le10.
Isto responde a (a): foi escrito o problema de valor inicial e de contorno.

Passo 3

Estratégia de resolução (introdução e motivação didática).
  • Para condições de Neumann homogêneas em um intervalo [0,L] (aqui L=10), a técnica padrão é expandir a condição inicial numa série de autovetores da operação espacial (separação de variáveis / séries de Fourier em cossenos).
  • Os autovalores e autovetores do problema de Sturm–Liouville
\varphi''(x)+\lambda\varphi(x)=0,\qquad \varphi'(0)=\varphi'(L)=0
são \lambda_n=(n\pi/L)^2 e \phi_n(x)=\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) para n=0,1,2,\dots. O caso n=0 dá a função constante (modo zeroth) que não decai no tempo.
  • Assim a solução por separação de variáveis tem a forma (para L=10):
u(x,t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big)\,e^{-\kappa (n\pi/10)^2 t},
onde os coeficientes a_n vêm da expansão da condição inicial em cossenos (série de Fourier de cossenos com pesos adequados).

Passo 4

Fórmulas dos coeficientes (explique o porquê das fórmulas).
  • O modo constante (média) é
a_0=\frac{1}{10}\int_0^{10} f(x)\,dx.
Isto vem da ortogonalidade dos cossenos e do fato de que \phi_0(x)=1 e o comprimento do intervalo é 10.
  • Para n\ge1,
a_n=\frac{2}{10}\int_0^{10} f(x)\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big)\,dx=\frac{1}{5}\int_0^{10} x(10-x)\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big)\,dx.
Estas fórmulas são as projeções da função inicial sobre as autofunções \cos(n\pi x/10); o fator 2/10 vem da normalização (norma ao quadrado de \cos em [0,10] é 5 para n\ge1).

Passo 5

Cálculo explícito de a_0.
\int_0^{10} x(10-x)\,dx=\int_0^{10}(10x-x^2)\,dx=\left[5x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^{10}=500-\frac{1000}{3}=\frac{500}{3}.
Portanto
a_0=\frac{1}{10}\cdot\frac{500}{3}=\frac{50}{3}.
Interpretação rápida: a_0 é a temperatura média inicial; por isolamento total da barra a média (energia total) permanece constante no tempo.

Passo 6

Cálculo explícito de a_n para n\ge1 (integração por partes passo a passo).
Defina \alpha=\tfrac{n\pi}{10}. Queremos
I_n=\int_0^{10} x(10-x)\cos(\alpha x)\,dx=\int_0^{10}(10x-x^2)\cos(\alpha x)\,dx.
Usamos integrais por partes (mostro as antiderivadas necessárias):
\int x\cos(\alpha x)\,dx=\frac{x\sin(\alpha x)}{\alpha}+\frac{\cos(\alpha x)}{\alpha^2}+C,
\int x^2\cos(\alpha x)\,dx=\frac{x^2\sin(\alpha x)}{\alpha}+\frac{2x\cos(\alpha x)}{\alpha^2}-\frac{2\sin(\alpha x)}{\alpha^3}+C.
Combinação linear (subtraindo) dá a antiderivada de (10x-x^2)\cos(\alpha x). Avaliando de 0 a 10 e usando \alpha\cdot10=n\pi (logo \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n) obtemos, depois de simplificar,
I_n=-\frac{10}{\alpha^2}\big((-1)^n+1\big).
Logo
a_n=\frac{1}{5}I_n=-\frac{2}{\alpha^2}\big((-1)^n+1\big).
Voltando a \alpha=\tfrac{n\pi}{10}, tem-se \alpha^2=\tfrac{n^2\pi^2}{100}, portanto
\frac{2}{\alpha^2}=\frac{200}{n^2\pi^2},
e finalmente
a_n=-\frac{200}{n^2\pi^2}\big((-1)^n+1\big).

Passo 7

Simplificação dos coeficientes (casos pares/ímpares) e forma mais prática da série.
  • Observe que (-1)^n+1=0 quando n é ímpar, e (-1)^n+1=2 quando n é par. Assim todos os coeficientes a_n com n ímpar são nulos.
  • Para n=2k (k=1,2,\dots):
a_{2k}=-\frac{200}{(2k)^2\pi^2}\cdot 2=-\frac{400}{4k^2\pi^2}=-\frac{100}{k^2\pi^2}.
Portanto a série tem apenas termos com n=2k. Reescrevendo com k\ge1:
u(x,t)=\frac{50}{3}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k}\cos\!\big(\tfrac{2k\pi x}{10}\big)\,e^{-\kappa (2k\pi/10)^2 t} =\frac{50}{3}-\sum_{k=1}^\infty \frac{100}{k^2\pi^2}\cos\!\big(\tfrac{k\pi x}{5}\big)\,e^{-\kappa (k^2\pi^2/25)\,t}.

Passo 8

Interpretação física e cálculo do limite t\to+\infty.
  • Cada termo do tipo \cos(\cdot)\,e^{-\kappa\lambda_n t} decai exponencialmente com t porque \lambda_n>0 para n\ge1. O termo constante a_0=\tfrac{50}{3} não decai.
  • Portanto, matematicamente,
\lim_{t\to+\infty}u(x,t)=a_0=\frac{50}{3},
constantemente em x. Fisicamente isso corresponde ao estabelecimento de um equilíbrio térmico homogêneo (mesma temperatura em toda a barra) mantendo a energia total (temperatura média) inicial por causa das extremidades isoladas.

Resposta

(a) \begin{cases} u_t(x,t)=\kappa\,u_{xx}(x,t), &0<x<10,\;t>0,\\[4pt] u_x(0,t)=0,\quad u_x(10,t)=0, &t>0,\\[4pt] u(x,0)=x(10-x), &0\le x\le10. \end{cases}
(b) u(x,t)=\frac{50}{3}-\sum_{k=1}^\infty \frac{100}{k^2\pi^2}\cos\!\big(\tfrac{k\pi x}{5}\big)\,e^{-\kappa (k^2\pi^2/25)\,t}.
(c) \lim_{t\to+\infty}u(x,t)=\frac{50}{3}.]

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