Seja u(x, t) a função que fornece a temperatura em uma barra metálica de comprimento l=l 0, que possui as extremidades termicamente isoladas e encontra-se inicialmente com a temperatura dada por f(x)=x(10-x).
a) Escreva o problema de valor inicial e de contorno que representa o problema descrito acima.
b) Qual é a fórmula da solução do problema?
c) Encontre a distribuição “final” de temperatura na barra. Isto é, a distribuição de temperatura para t \rightarrow+\infty.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) escrever o problema de valor inicial e de contorno que modela a temperatura u(x,t) na barra;
(b) dar a fórmula da solução u(x,t) desse problema;
(c) encontrar a distribuição de temperatura final, isto é, u(x,t) quando t\to+\infty.
Informações fornecidas pelo enunciado:
A barra tem comprimento l=l_0 e as extremidades são termicamente isoladas (isso significa condições de Neumann: derivada espacial nula nas extremidades).
A condição inicial é f(x)=x(10-x).
O enunciado fornece f(x) com a constante 10; por isso vou assumir que o comprimento da barra é l=l_0=10 (domínio 0\le x\le10). Se o enunciado quisesse outro l_0 teria dado outro formato de f; tomar l=10 é a escolha consistente com f(x).
Não foi dada a difusividade térmica numérica; denotarei por \kappa>0 a difusividade térmica (constante física).
Passo 2
Escrever o problema PDE-CC-IC (modelo físico e matemático).
Equação do calor unidimensional homogênea (modelo padrão para barra homogênea):
u_t(x,t)=\kappa\,u_{xx}(x,t),\qquad 0<x<10,\;t>0,
onde \kappa>0 é a difusividade térmica.
Condições de contorno (extremidades termicamente isoladas — derivada espacial nula):
u_x(0,t)=0,\qquad u_x(10,t)=0,\qquad t>0.
Condição inicial:
u(x,0)=f(x)=x(10-x),\qquad 0\le x\le10.
Isto responde a (a): foi escrito o problema de valor inicial e de contorno.
Passo 3
Estratégia de resolução (introdução e motivação didática).
Para condições de Neumann homogêneas em um intervalo [0,L] (aqui L=10), a técnica padrão é expandir a condição inicial numa série de autovetores da operação espacial (separação de variáveis / séries de Fourier em cossenos).
Os autovalores e autovetores do problema de Sturm–Liouville
são \lambda_n=(n\pi/L)^2 e \phi_n(x)=\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) para n=0,1,2,\dots. O caso n=0 dá a função constante (modo zeroth) que não decai no tempo.
Assim a solução por separação de variáveis tem a forma (para L=10):
Estas fórmulas são as projeções da função inicial sobre as autofunções \cos(n\pi x/10); o fator 2/10 vem da normalização (norma ao quadrado de \cos em [0,10] é 5 para n\ge1).
Combinação linear (subtraindo) dá a antiderivada de (10x-x^2)\cos(\alpha x). Avaliando de 0 a 10 e usando \alpha\cdot10=n\pi (logo \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n) obtemos, depois de simplificar,
Interpretação física e cálculo do limite t\to+\infty.
Cada termo do tipo \cos(\cdot)\,e^{-\kappa\lambda_n t} decai exponencialmente com t porque \lambda_n>0 para n\ge1. O termo constante a_0=\tfrac{50}{3} não decai.
Portanto, matematicamente,
\lim_{t\to+\infty}u(x,t)=a_0=\frac{50}{3},
constantemente em x. Fisicamente isso corresponde ao estabelecimento de um equilíbrio térmico homogêneo (mesma temperatura em toda a barra) mantendo a energia total (temperatura média) inicial por causa das extremidades isoladas.