Exercício 2-Calcule as integrais abaixo:
integral duplaD(x-1) d A, D=(x, y) ; 1 <= y <= 2, y <= x <=-y+6.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de (x-1) sobre o domínio D dado por 1 <= y <= 2 e y <= x <= 6 - y. O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando integração iterada, e a gente vai precisar conhecer como montar e calcular uma integral em duas variáveis.

Passo 2

Para resolver, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Como os limites em x dependem de y, primeiro integramos em x e depois em y:
integral duplaD (x-1),dA = integraly=1^2 l(integralx=y^6-y (x-1),dxr) dy

Passo 3

Agora focamos na integral interna em x. A integral de (x-1) em relação a x é dada por:
integral (x-1),dx = x^22 - x
Vamos avaliar esse resultado entre x=y e x=6-y:
l(tfrac(6-y)^22 - (6-y)r) - l(tfracy^22 - yr)

Passo 4

Simplificando essa expressão, temos:
(6-y)^22 - (6-y) - y^22 + y = 36 -12y + y^22 -6 + y - y^22 + y = 18 -6y + tfracy^22 -6 + y - tfracy^22 + y = 12 -4y
Então a integral vira:
integraly=1^2 (12 - 4y),dy

Passo 5

Por fim, calculamos a integral em y:
integral (12 - 4y),dy = 12y - 2y^2
e avaliamos de y=1 até y=2:
(12cdot2 - 2cdot2^2) - (12cdot1 - 2cdot1^2) = (24 -8) - (12 -2) = 16 -10 = 6

Resposta

6

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