Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
\oint_{C} x y^{2} d x-x^{2} y d y, em que C é a fronteira da região entre as curvas y=x^{2} e y^{2}=x.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C} x y^{2}\,dx \;-\; x^{2}y\,dy
onde C é a curva que delimita a região entre as curvas y=x^{2} e y^{2}=x.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que diz
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA
em que D é a região interior a C. Vamos identificar P e Q e aplicar Green.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x\,y^{2}, \quad Q(x,y)=-x^{2}y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{2}y\bigr) =-2x\,y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\bigr) =2x\,y.
Logo o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-2x\,y \;-\;2x\,y =-4x\,y.

Passo 3

Agora descrevemos a região D. As curvas se intersectam em x^{2}=\sqrt{x}, ou seja, em x=0 e x=1. Para cada x entre 0 e 1, a curva inferior é y=x^{2} e a superior é y=\sqrt{x}. Assim
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^{2}\le y\le\sqrt{x}\bigr\}.
Pela fórmula de Green
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}(-4x\,y)\,dA =-4\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}x\,y\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}x\,y\,dy =x\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}y\,dy =x\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} =x\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{x^{4}}{2}\Bigr) =\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{2}.

Passo 5

Substituindo na integral total:
-4\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{2}\Bigr)dx =-4\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x^{5}\bigr)dx =-2\Bigl[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{1} =-2\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\Bigr) =-2\cdot\frac{1}{6} =-\frac{1}{3}.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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