Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
, em que
é a fronteira da região entre as curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a curva que delimita a região entre as curvas
e
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que diz
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que diz
em que
é a região interior a
. Vamos identificar
e
e aplicar Green.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 3
Agora descrevemos a região
. As curvas se intersectam em
, ou seja, em
e
. Para cada
entre 0 e 1, a curva inferior é
e a superior é
. Assim
Pela fórmula de Green
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Passo 5
Substituindo na integral total: