Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
, em que
é a fronteira da região anelar entre as circunferências
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira da região anelar entre os círculos
e
. Como
é fechado e a região interior é lisa, vamos usar o Teorema de Green, que diz
Passo 2
Identificamos
Então
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
Passo 4
Para calcular essa integral, usamos coordenadas polares:
O integrando fica
logo
Passo 5
Agora integramos
de
a
e
de
a
:
Mas
então a integral vale
.