Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
\oint_{C} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\ln \left(x^{2}+y^{2}\right) d y, em que C é a fronteira da região anelar entre as circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx \;+\;\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy
onde C é a fronteira da região anelar entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4. Como C é fechado e a região interior é lisa, vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), \quad Q(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Então
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_{D}\frac{2x - 2y}{x^{2}+y^{2}}\,dA.

Passo 4

Para calcular essa integral, usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta.
O integrando fica
\frac{2(x-y)}{x^{2}+y^{2}} =\frac{2\bigl(r\cos\theta - r\sin\theta\bigr)}{r^{2}} =\frac{2(\cos\theta - \sin\theta)}{r},
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\frac{2(x-y)}{x^{2}+y^{2}}\,dA =2(\cos\theta-\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos r de 1 a 2 e \theta de 0 a 2\pi:
\iint_{D}2(\cos\theta-\sin\theta)\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}2(\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta \int_{1}^{2}dr.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
então a integral vale 0.

Resposta

0

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