Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
, em que
é o retângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular a integral de linha fechada
em que
é o retângulo com vértices
,
,
e
, orientado positivamente (anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha num integral dupla sobre a região interna.
Passo 2
Identificamos o campo vetorial
com
Precisamos das derivadas parciais
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
onde
. Então o integrando fica
Passo 4
Calculamos a integral dupla separando as variáveis:
Agora,
Então