Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
\oint_{C} e^{y} \cos x d x-e^{y} \operatorname{sen} x d y, em que C é o retângulo de vértices (0,0),(\pi / 2,0),(\pi / 2,1) e (0,1).

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} e^{y}\cos x\,dx \;-\; e^{y}\sin x\,dy
em que C é o retângulo com vértices (0,0), \bigl(\tfrac\pi2,0\bigr), \bigl(\tfrac\pi2,1\bigr) e (0,1), orientado positivamente (anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha num integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Identificamos o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) com
P(x,y)=e^{y}\cos x \qquad\text{e}\qquad Q(x,y)=-e^{y}\sin x.
Precisamos das derivadas parciais
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{y}\sin x\bigr) =-e^{y}\cos x,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) =e^{y}\cos x.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde R=\{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac\pi2,\;0\le y\le1\}. Então o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-e^{y}\cos x \;-\; e^{y}\cos x =-2e^{y}\cos x.

Passo 4

Calculamos a integral dupla separando as variáveis:
\iint_{R}(-2e^{y}\cos x)\,dA =-2\int_{y=0}^{1}e^{y}dy\;\int_{x=0}^{\frac\pi2}\cos x\,dx.
Agora,
\int_{x=0}^{\frac\pi2}\cos x\,dx =\bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\frac\pi2}=1,
\int_{y=0}^{1}e^{y}dy =\bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{1}=e-1.
Então
\iint_{R}(-2e^{y}\cos x)\,dA =-2\,(e-1)\,\cdot1 =-2(e-1).

Resposta

-2(e-1)

Exercícios relacionados