Exercício 9. Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
\oint_{\gamma}\left(y^{2}-7 y\right) d x+(2 x y+x) d y, \gamma é o círculo de raio 1 e centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \oint_{\gamma}\bigl(y^{2}-7y\bigr)\,dx + \bigl(2xy+x\bigr)\,dy,
onde \gamma é o círculo de raio 1 centrado na origem, orientado positivamente.
Vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

Definimos
P(x,y) = y^{2} - 7y, \quad Q(x,y) = 2xy + x.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y + 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = 2y - 7.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2y+1)-(2y-7) = 8.

Passo 3

Pelo Teorema de Green temos
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o disco de raio 1.

Passo 4

Como o integrando é constante igual a 8,
\iint_{D}8\,dA = 8 \cdot \text{área}(D) = 8 \cdot \pi \cdot 1^{2} = 8\pi.á

Resposta

8\pi

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