Exercício 9. Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
,
é o círculo de raio 1 e centro na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
,
onde é o círculo de raio
centrado na origem, orientado positivamente.
Vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior.
onde
Vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região interior.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 3
Pelo Teorema de Green temos
onde
é o disco de raio
.
Passo 4
Como o integrando é constante igual a
,