Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
\oint_{C} y^{2} d x, em que C é o cardioide r=1+\operatorname{sen} \theta, \theta \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C} y^{2}\,dx
onde C é o cardioide dado em coordenadas polares por
r = 1 + \sin\theta,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral de área.

Passo 2

Identificamos a forma diferencial
P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = y^2\,dx + 0\cdot dy.
Pelo Teorema de Green, se C é percorrido positivamente (anti-horário),
\oint_C P\,dx + Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =-\iint_{D} \frac{\partial}{\partial y}(y^2)\,dA =-\iint_{D}2y\,dA.

Passo 3

Agora usamos coordenadas polares em D. Sabemos que
y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta,
e o raio varia de 0 até 1+\sin\theta. Logo,
\iint_{D}2y\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1+\sin\theta}2\,(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1+\sin\theta}2r^2\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos em r:
\int_{0}^{1+\sin\theta}2r^2\sin\theta\,dr =2\sin\theta\cdot\frac{(1+\sin\theta)^3}{3} =\frac{2}{3}\,\sin\theta\,(1+\sin\theta)^3.
Portanto
\iint_{D}2y\,dA =\int_{0}^{2\pi}\frac{2}{3}\,\sin\theta\,(1+\sin\theta)^3\,d\theta,
e a integral de linha vale
\oint_{C}y^2\,dx =-\frac{2}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,(1+\sin\theta)^3\,d\theta.

Passo 5

Expandimos e usamos integrais conhecidas de potências de \sin\theta:
\sin\theta\,(1+\sin\theta)^3 =\sin\theta+3\sin^2\theta+3\sin^3\theta+\sin^4\theta.
Sobre [0,2\pi] temos
\int\! \sin\theta\,d\theta=0, \quad \int\! \sin^2\theta\,d\theta=\pi, \quad \int\! \sin^3\theta\,d\theta=0, \quad \int\! \sin^4\theta\,d\theta=\tfrac{3\pi}{4}.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,(1+\sin\theta)^3\,d\theta =3\pi+\frac{3\pi}{4} =\frac{15\pi}{4}.
Substituindo,
\oint_{C}y^2\,dx =-\frac{2}{3}\cdot\frac{15\pi}{4} =-\frac{5\pi}{2}.

Resposta

-\frac{5\pi}{2}

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