Exercício 8. Calcule as integrais abaixo:
, em que
é o cardioide
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde é o cardioide dado em coordenadas polares por
onde
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral de área.
Passo 2
Identificamos a forma diferencial
Pelo Teorema de Green, se
é percorrido positivamente (anti-horário),
Passo 3
Agora usamos coordenadas polares em
. Sabemos que
e o raio varia de
até
. Logo,
Passo 4
Integramos em
:
Portanto
e a integral de linha vale
Passo 5
Expandimos e usamos integrais conhecidas de potências de
:
Sobre
temos
Logo
Substituindo,