Exercício 8. Calcule as integrais
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sec}^{2}x\,dx
que é uma integral definida, mas o integrando \operatorname{sec}^{2}x fica singular em x=\tfrac{\pi}{2}. Teremos, portanto, uma integral imprópria.

Passo 2

Encontramos primeiro a antiderivada de \operatorname{sec}^{2}x. Como
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x,
segue que
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C.

Passo 3

Reescrevemos a integral definida como limite de uma integral própria:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sec}^{2}x\,dx =\lim_{b\to\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr)^-}\int_{0}^{b}\operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 4

No intervalo [0,b] temos
\int_{0}^{b}\operatorname{sec}^{2}x\,dx =\bigl[\tan x\bigr]_{0}^{b} =\tan b - \tan 0 =\tan b.
Portanto
\lim_{b\to\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr)^-}\tan b = +\infty.

Resposta

A integral diverge, ou seja,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sec}^{2}x\,dx = +\infty.

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